循环框图的输出值

题型说明

• 常见问法：「若某程序框图如图所示，当输入 $n$ 时，输出的结果是 ____」，或反过来给输出问输入。
• 主线：
  1. 先把框图翻译成三行字。初值（$S=0,\ i=1$）、循环体（$S=2S+i$，$i=i+1$）、退出条件（$S\ge n$ 时退出）。翻译完就可以不看图了。
  2. 确认判断框在循环体之前还是之后。在后面 = 做完再判，循环体至少跑一次；在前面 = 先判再做，有可能一次不跑。这一步定的是「差一步」还是「差两步」。
  3. 认清输出的是哪个变量、在哪一刻取的值。退出时计数器往往已经多加了一次，输出值与循环轮数常常相差 $1$。
  4. 手推还是求通项，看轮数：轮数少（一般 $\le 6$）直接列表；轮数多或输入是字母，就把循环体当递推解出 $S_k$ 的通项，再解不等式。
• 一条现成结论：形如 $S_k=aS_{k-1}+f(k)$ 的循环体就是非齐次线性递推，标准做法是配一个待定的 $\lambda k+\mu$ 让 $S_k+\lambda k+\mu$ 成等比；或者作差把它降成 $d_{k+1}=a d_k+c$ 这种更简单的形式再累加。

常见陷阱

• 把输出的计数器值当成循环轮数，答案差 $1$。
• 退出条件是 $S\ge n$ 还是 $S>n$ 看错；边界那一轮跑不跑，直接决定答案。
• 处理框里的 $S=2S+i$ 当成方程去解。它是赋值，右边用的是旧值。
• 循环体里两条赋值语句的先后读反：先更新 $i$ 再算 $S$，与先算 $S$ 再更新 $i$，得到的是两条不同的递推。
• 轮数明明只有五六轮，却去硬解通项；或者反过来，输入是字母还在一轮一轮地试。