浙江 2012 · 数学 q12

冷启动：先把框图翻译成三行字

卷面那张框图在转写时丢了。 题面只剩「若某程序框图如图所示」这一句， 图印在原卷第 3 页右栏。照扫描件逐框读回来，能用的信息就三行：

• 初值：$T=1$，$i=1$；
• 循环体：先 $T=\dfrac{T}{i}$，然后 $i=i+1$；
• 退出条件：判断 $i>5$——成立就输出 $T$、结束，不成立就绕回循环体之前。

翻译完就可以把图合上了。往下三条路都只用这三行字。

两个细节要在这一步钉死，它们是这道题唯一的机关：

1. 判断框在循环体后面，所以是「先做后判」——循环体至少跑一次， 每一轮的次序永远是「先做除法，再让 $i$ 加一，最后才判断」。
2. 除法用的是本轮的 $i$，而 $i$ 在判断之前就已经加过了。 于是触发退出的那个 $i$，是在本轮除法做完之后才自增出来的，它一次除法都没参与。 换句话说：判断框上写着 $5$，真正当过除数的却是 $1,2,3,4,5$ 这五个数， 而看到退出的那个 $i$ 已经是 $6$。

第 2 条正是本题唯一容易翻车的地方，也是三条路各自要交代清楚的同一件事。

解法一：照着框图跑五轮，把 $T$ 和 $i$ 摞成一张表

最笨也最稳的一条：门槛只有 $5$，手推五轮就到底了。 每一轮严格按框图的次序走——除法、自增、判断，一步都不许调换。

第五轮末 $i=6$，判断框第一次成立，输出

表格里有两条自查线，抄错一步立刻现形：

• 「本轮的除数」这一列必须是 $1,2,3,4,5$，一个不多一个不少，且与轮次 $k$ 相等；
• 「轮末的 $i$」永远比本轮除数大 $1$。最后一行是 $5$ 与 $6$—— 这就是判断框拦住的那个 $i$ 与最后一个除数的差一。

手推的短板也在这里：门槛若不是 $5$ 而是 $2012$，这条路就废了。下面两条不怕。

解法二：循环不变式——每次走到判断框，都有 $T=\frac{1}{(i-1)!}$

不逐轮跑，改找一句每次走到判断框时都成立的话。位置要说死：判断框之前—— 因为退出恰好发生在那里，那句话与退出条件一联立，答案就掉出来。

猜形状。 把上表每一行的「轮末 $T$」与「轮末 $i$」配成一对，只盯同一行里这两个量的关系：

分母 $1,2,6,24$ 依次是 $1!,2!,3!,4!$，而配对的 $i$ 是 $2,3,4,5$。于是猜

一步归纳证掉。 第一次走到判断框之前，循环体已跑了一轮：$T=1\div1=1$、$i=2$， 而 $\dfrac{1}{(2-1)!}=1$，起点成立。设某次走到判断框时 $T=\dfrac{1}{(i-1)!}$， 若判断为「否」，则绕回循环体，按框图的次序做两件事：

新的一对是 $\left(\dfrac{1}{i!},\,i+1\right)$，代进那句话：$\dfrac{1}{\bigl((i+1)-1\bigr)!}=\dfrac{1}{i!}$——一模一样。 所以这句话在每一次经过判断框时都成立。

代退出状态。 退出发生在判断为「是」的那一刻，即 $i>5$ 第一次成立。 $i$ 从 $2$ 起每次经过判断框加一，取值依次是 $2,3,4,5,6$，第一次超过 $5$ 的是 $i=6$。代入：

这条路的好处是与轮数脱钩：门槛改成 $i>2012$，前面一个字不用动，末一步换成 $\dfrac{1}{2012!}$。

解法三：只数除数——$T$ 从 $1$ 起只被除，除数就是 $i$ 跑过的那几个数

连闭式都不用写。看一眼循环体：$T$ 在整个执行过程里只经历一种运算——被除， 而且除数每次都是当时的 $i$。除法就是乘倒数，乘法可交换可结合， 所以做除法的先后次序对结果毫无影响。跑完之后必有

其中 $d_1,\dots,d_m$ 是历次的除数。于是全题只剩一个问题：哪几个数当过除数？

答案是 $1,2,3,4,5$。这一步全部的承重点是从框图读出来的两件事，先摊开写清：

• （甲）$i=i+1$ 这一框在循环体里，位置在 $T=\dfrac{T}{i}$ 之后、判断框之前；
• （乙）判断框在循环体之后（先做后判）。

由（甲）：除数就是每轮进循环体时 $i$ 的值，而 $i$ 从 $1$ 起、每轮恰加一次一， 所以历次除数是 $1,2,3,\dots$ 这样往下排，不重不漏、不跳号。 由（甲）+（乙）：判断框看到的是本轮除法做完、$i$ 也加过之后的那个值， 所以「$i>5$」第一次成立于 $i=6$，而这个 $6$ 是第 $5$ 轮除法（除以 $5$）做完才被加出来的—— $6$ 从来没当过除数，名单到 $5$ 为止。

这两条缺一不可：若 $i=i+1$ 落在返回箭头上（判断框看到的是加一之前的 $i$）， 就会多跑一轮、名单变成 $1$ 到 $6$，输出是 $\dfrac{1}{720}$。所以读框图时先把这两框的相对位置抄下来， 再动笔数除数。

于是除数名单恰好是 $1$ 到 $5$：

认不出 $1\times2\times3\times4\times5=5!$ 也没关系，这条路要的只是那个乘积。 自查也最省事：名单里有几个数，循环就跑了几轮——五个数、五轮，与解法一的表对得上。

三个提醒

1. 判断框上的 $5$ 不是「跑五轮」的那个 $5$，两件事只是在这道题里恰好对上了。 真正决定答案的是除数名单，而名单的末尾由「先做后判」定死： $i=6$ 只负责让循环停下，它一次除法都没做。 把 $6$ 也乘进去会得 $\dfrac{1}{720}$，把 $5$ 漏掉会得 $\dfrac{1}{24}$—— 这两个数都在选择题的干扰项里出现过。

2. 框图里两个赋值的先后不能调。 本题是「先除后增」；若把 $i=i+1$ 挪到 $T=\dfrac{T}{i}$ 之前， 同样跑到 $i>5$ 退出，除数名单就变成 $2,3,4,5,6$，输出是 $\dfrac{1}{720}$。 同一堆框，两个赋值换个次序，答案就换一个。读框图时先把次序抄下来， 再动笔算。

3. 问的是 $T$ 还是 $i$，看清楚。 本题问「输出的值」，输出框里装的是 $T$， 所以答案是 $\dfrac{1}{120}$，不是最后看到的那个 $i=6$。 同一套框图换成「输出 $i$」，答案就成了 $6$——这类题两种问法都常见， 而 $T$ 与 $i$ 在退出瞬间恰好差着一层阶乘，认错一个全盘皆错。