4.5.2 用二分法求方程的近似解

上一节（§4.5.1）解决了”方程的解在哪”——零点存在定理保证零点在某个区间里。这一节解决”解是多少”：把零点所在区间一分为二、再一分为二……直到区间小到满足精确度，区间的端点就是零点的近似值。这个”不断对半细分”的方法就是二分法，它是计算数学里数值求根的经典算法，也几乎原样出现在高考的解答题和算法题里。

学完这一节，你要能：按四个步骤完整走一遍二分法（验证异号 → 取中点 → 判号缩区间 → 判断精确度），说清精确度 $\varepsilon$ 到底管什么。

一、二分法的一次完整演示：例 2（2^x + 3x = 7）

例 2 是本节的教学样板，跟着它把流程走一遍。原方程移项成 $f(x) = 2^x + 3x - 7 = 0$，令 $x_0$ 为它的零点：

1. 初始区间：由图/表得 $f(1)f(2) < 0$（$f(1) = 2 + 3 - 7 = -2$，$f(2) = 4 + 6 - 7 = 3$），零点在 $(1, 2)$ 内；
2. 取中点：$x_1 = \frac{1 + 2}{2} = 1.5$，算 $f(1.5) \approx 0.33 > 0$。因为 $f(1)f(1.5) < 0$，零点收窄到 $(1, 1.5)$；
3. 再取中点：$x_2 = \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25$，$f(1.25) \approx -0.87 < 0$。因为 $f(1.25)f(1.5) < 0$，零点收窄到 $(1.25, 1.5)$；
4. 继续：$(1.375, 1.5) \to (1.375, 1.4375)$。此时

区间长度已经小于精确度 0.1，停止。原方程的近似解可取 $1.375$（区间内任意一点都可以，习惯取一个端点）。

每一步都做三件事：取中点、算函数值、比符号选新区间——然后重复。这是”重复相同的步骤”的典型算法，也是它可以写程序、画程序框图（图 4.5-5）的原因。

二、二分法的定义与四个步骤

定义：对于在区间 $[a, b]$ 上图象连续不断且 $f(a)f(b) < 0$ 的函数 $y = f(x)$，通过不断地把零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

一般步骤（给定精确度 $\varepsilon$）：

1. 确定初始区间 $[a, b]$，验证 $f(a)f(b) < 0$；
2. 求中点 $c = \frac{a + b}{2}$；
3. 计算 $f(c)$，确定新区间：若 $f(c) = 0$，则 $c$ 就是零点；若 $f(a)f(c) < 0$，令 $b = c$（零点在 $(a, c)$）；若 $f(c)f(b) < 0$，令 $a = c$（零点在 $(c, b)$）；
4. 判断精确度：若 $|a - b| < \varepsilon$，取 $a$（或 $b$）作近似值，结束；否则回到第 2 步。

精确度 $\varepsilon$ 的语义要想清楚：$\varepsilon$ 约束的是区间长度 $|a - b|$，不是 $|f(c)|$。因为零点 $x_0$ 在区间 $[a, b]$ 内，区间端点 $a$（或 $b$）与 $x_0$ 的距离 ≤ 区间长度 $|a - b|$——所以只要 $|a - b| < \varepsilon$，区间内任意一点（包括端点）与零点的距离都小于 $\varepsilon$，都满足精确度要求。这也是课本”想一想，为什么”的答案：$|x_0 - a| \le |a - b| < \varepsilon$。

顺带把框图那一半读懂：判断框在哪，答案就差在哪

图 4.5-5 是现行人教A版五册书里唯一一张画出来并被命名的程序框图（另一处在 §5.5 造三角函数表， 只提了一句「就可以写出一个程序框图」）。它值得多看两眼——高考的算法题考的就是这件事： 把框图读成一段能逐轮跑的规则。

一张带循环的框图，能用的信息只有三行：

1. 初值：循环开始前各个变量分别等于几；
2. 循环体：每一轮把旧值换成新值的那几条赋值语句，以及它们的先后；
3. 退出条件：判断框里那个不等式，以及它成立时往哪走。

三个容易读岔的地方：

• 赋值不是等式。$a=c$ 读作「把 $c$ 的值存进 $a$」，所以 $i=i+1$ 一点也不矛盾； 二分法框图里的 $a=c$ / $b=c$ 正是这个意思——旧端点被覆盖掉了。
• 判断框在循环体之前还是之后。在后是「做完再判」，循环体至少跑一次； 在前是「先判再做」，条件一开始就成立就一轮都不跑。图 4.5-5 属于前者： 先取中点、判号缩区间，再问 $|a-b|<\varepsilon$。
• 循环里通常有两个变量在动：一个攒结果（二分法里是端点 $a$、$b$），一个数轮数。 问的是「跑了几轮」还是「某个变量此刻等于几」，答案常常差一——计数器在判断之前就已经加过了。

三行读出来之后框图就可以合上：剩下的是一条递推（初值 $+$ 每轮怎么变）， 轮数少就逐轮爬，轮数多就先求通项。二分法这一条的通项还特别干净—— 第 $k$ 轮后区间长度是 $\dfrac{b-a}{2^{k}}$，于是「要跑几轮」由 $\dfrac{b-a}{2^{k}}<\varepsilon$ 直接解出来，不必真的一轮一轮数。

三、易错点

1. 先验证、后二分：$f(a)f(b) < 0$ 且图象连续是二分法起跑的前提，直接对”看起来有零点”的区间二分没有依据；
2. 判号对象搞混：第 3 步比的是 $f(a)$ 与 $f(c)$（或 $f(c)$ 与 $f(b)$）的符号，别拿 $f(c)$ 与 0 比大小来决定区间——那是比较函数值大小，不是判零点所在侧；
3. 停止条件是区间长度，不是 $f(c)$ 接近 0：$|a - b| < \varepsilon$ 才是停表条件；$f(c)$ 很小但区间还长，或者 $f(c)$ 不小但区间已短，都按定义以区间长度为准；
4. 别忘 $f(c) = 0$ 的情形：中点正好是零点时直接结束（第 3 步第 (1) 条），这是稀疏但合法的分支；
5. 近似值取端点：停止后把 $a$（或 $b$）作为零点近似值，“区间内任一点”的说法不要写成”区间外某点”；
6. 二分法不是求零点的唯一方法：它要求”连续 + 端点异号”，且每次只能保证一个零点在区间内（多零点区间照样收敛到其中一个）——课本末尾”阅读与思考”提到的牛顿法、弦截法收敛更快，但二分法最稳。

四、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。二分法在高考里的考法很固定：给一个函数和初始区间，模拟几步二分，问第几步区间变成什么、或取哪个近似值（选填题）；或者给算法程序框图/伪代码，判断输出（算法题）。做题要点就两条：每步把区间写对（符号判定的方向），以及记住”停表看 $|a - b|$“。二分法的思想（区间逐步逼近）也常作为函数零点综合题的背景。

清单里有一道题跟二分法无关、却整道题都在考上面那段「框图怎么读」：

• 2014 年浙江卷第 11 题（填空，经由「程序框图」这个实体）：给一张框图，输入 $50$ 问输出。 初值 $S=0$、$i=1$；循环体 $S=2S+i$，然后 $i=i+1$；判断框在循环体之后，$S\geqslant n$ 时输出 $i$。 逐轮跑：$S$ 依次是 $1,4,11,26,57$，轮末的 $i$ 依次是 $2,3,4,5,6$；第五轮 $57\geqslant 50$ 退出，输出 $6$。 循环体只跑了五轮，答案却是 $6$——这就是上面第三条说的那个「差一」。 想再走一步的话，把循环读成递推 $S_k=2S_{k-1}+k$，配一个一次式化成等比可得 $S_k=2^{\,k+1}-k-2$（做法见 §4.3），换任何输入都能一步回答。

五、怎么读这一节

1. 跟着例 2 手推一遍完整的 5 步二分（$(1,2) \to (1,1.5) \to (1.25,1.5) \to (1.375,1.5) \to (1.375,1.4375)$），每步确认三个动作：取中点、算 $f(c)$、判号选区间；
2. 背下四个步骤的表述，特别抠字眼：第 3 步的三种情形、第 4 步的 $|a - b| < \varepsilon$；
3. 回答课本”想一想”：为什么 $|a - b| < \varepsilon$ 时区间内任意一点都是满足精确度的近似值（用 $|x_0 - a| \le |a - b|$ 一句话）；
4. 看懂图 4.5-5 的程序框图：循环体就是第 2、3 步，判断框就是第 4 步——框图与文字步骤一一对应；
5. 做练习第 1、2 题各完整走一遍二分（要亲手列区间表，别只写答案）。

下一节 4.5.3 函数模型的应用：二分法给”解不出公式的方程”提供了数值解，模型应用的最后一块拼图——用函数模型描述现实问题、解释现象、预测未来——就此展开。

本节页面覆盖第 151–154 页，课本习题共 4 道：第 151 页顶部「练习」2 道（属 §4.5.1 函数的零点与方程的解，打印在本节第一页上，按 ADR-0023 归本节名下）、第 153 页「练习」2 道，逐题全做。第 154 页「阅读与思考（中外历史上的方程求解）」是课外阅读材料，不属于习题，不在本详解范围。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习 第 1 题（§4.5.1）

1. 图 (1)(2)(3) 分别为函数 $y = f(x)$ 在三个不同范围的图象. 能否仅根据其中一个图象, 得出函数 $y = f(x)$ 在某个区间只有一个零点的判断? 为什么?

不能。

题面附图（课本第 151 页）的三张图是同一个函数在不同观察范围（坐标刻度）下的图象：

• 图 (1)：观察范围最大，曲线看似只与 $x$ 轴交于 1 个点；
• 图 (2)：范围缩小后，可见曲线与 $x$ 轴有多个交点，但都挤在原点附近很小一段里；
• 图 (3)：范围最小，能清楚看到 3 个交点。

仅凭图 (1)（或图 (2)）会误判零点个数——“看不出交点”不等于”没有交点”，局部图象无法覆盖全部零点。只有观察范围覆盖了整个定义域、且刻度足以分辨交点时，才能从图象数出零点个数；而”只有一个零点”的严格判断必须借助函数性质（如单调性），图象只能提供猜测。

自检：这正是 §4.5.1 例 1 之后”?”问题的图示版——”$f(2)f(3) < 0$ 只保证至少一个零点”，图象在不同范围下”看起来”的零点个数可以不同。三张图揭示的规律：观察范围决定你看见什么，函数性质才决定事实是什么。

练习 第 2 题（§4.5.1）

2. 利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间： (1) $f(x) = -x^{3} - 3x + 5;$ (2) $f(x) = 2x \ln(x - 2) - 3;$ (3) $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}+4x-4;$ (4) $f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.$

每个函数找两个端点值异号的整数点即可（以下 $f(a)f(b) < 0$ 均由计算工具算得）：

(1) $f(1) = -1 - 3 + 5 = 1 > 0$，$f(2) = -8 - 6 + 5 = -9 < 0$——零点大致区间 $(1, 2)$。

(2) 定义域为 $x > 2$（$\ln(x-2)$ 要求 $x - 2 > 0$）。$f(3) = 6\ln 1 - 3 = -3 < 0$，$f(4) = 8\ln 2 - 3 \approx 2.55 > 0$——零点大致区间 $(3, 4)$。（更细地 $f(3.5) \approx -0.16 < 0$，零点在 $(3.5, 4)$ 内。）

(3) $f(0) = \mathrm{e}^{-1} - 4 \approx -3.63 < 0$，$f(1) = \mathrm{e}^{0} + 4 - 4 = 1 > 0$——零点大致区间 $(0, 1)$。

(4) 逐个试整数点：$f(-4) = 3 \times (-2) \times (-7) \times 0 - 4 = -4 < 0$，$f(-3) = 3 \times (-1) \times (-6) \times 1 - 3 = 18 - 3 = 15 > 0$——零点在 $(-4, -3)$；$f(-3) > 0$，$f(-2) = 3 \times 0 \times (-5) \times 2 - 2 = -2 < 0$——零点在 $(-3, -2)$；$f(2) = 3 \times 4 \times (-1) \times 6 + 2 = -70 < 0$，$f(3) = 0 + 3 = 3 > 0$——零点在 $(2, 3)$。所以零点大致区间是 $(-4, -3)$、$(-3, -2)$、$(2, 3)$ 三个。

自检：找零点大致区间就是”找一对端点异号的整数”——不用算得多精，符号对就行（这正是二分法第一步的准备工作）。(4) 有三个零点（三次多项式加线性项，图象三穿 $x$ 轴），各区间要分开找；验证三个区间内的零点约为 $-3.90$、$-2.07$、$2.97$，都在各自区间内。注意 (2) 的定义域把 $x \le 2$ 排除，$f(2)$ 不存在，不能拿 2 当端点。

练习 第 3 题

1. 借助信息技术，用二分法求函数 $f(x) = x^3 + 1.1x^2 + 0.9x - 1.4$ 在区间（0，1）内零点的近似值（精确度为0.1）.

先验证初始区间：$f(0) = -1.4 < 0$，$f(1) = 1 + 1.1 + 0.9 - 1.4 = 1.6 > 0$，$f(0)f(1) < 0$，可以进行二分。逐次取中点：

此时 $|0.6875 - 0.625| = 0.0625 < 0.1$，达到精确度，停止。零点近似值可取 0.625（区间内任意一点都可以，如 0.7 亦可）。

自检：每一步都验证”中点函数值符号 + 端点异号选新区间”。真实零点约 $0.67$：$f(0.67) \approx -0.0024 < 0$ 而 $f(0.6875) > 0$，零点在 $0.67$ 右侧；它与近似值 0.625 的距离 $< 0.0625 < 0.1$，满足精确度要求。注意停止条件是区间长度 $|a - b| < \varepsilon$，不是 $|f(c)|$ 的大小。

练习 第 4 题

2. 借助信息技术，用二分法求方程 $x = 3 - \lg x$ 在区间（2，3）内的近似解（精确度为0.1）.

移项设 $f(x) = x + \lg x - 3$。先验证：$f(2) = 2 + \lg 2 - 3 \approx -0.699 < 0$，$f(3) = 3 + \lg 3 - 3 = \lg 3 \approx 0.477 > 0$，$f(2)f(3) < 0$，可以进行二分。逐次取中点：

此时 $|2.625 - 2.5625| = 0.0625 < 0.1$，达到精确度，停止。原方程的近似解可取 2.5625（或 2.625，区间内任意一点都可以）。

自检：$f(x) = x + \lg x - 3$ 在 $(2, 3)$ 上连续且单调递增（$x$ 增、$\lg x$ 增），零点唯一，二分不会”漏解”。真实解约 $2.587$（$2.587 + \lg 2.587 \approx 2.587 + 0.413 = 3$），与近似值 2.5625 的距离 $< 0.0625 < 0.1$，满足精确度。表格比文字叙述清晰，考试时写成”区间表”（每步：区间、中点、$f(c)$ 符号、新区间）最稳。