浙江 2013 · 数学 q05

冷启动：先把框图翻译成三行字

框图看着唬人，能用的信息只有三行：

• 初值：$S=1$，$k=1$；
• 判断框（注意它在循环体前面）：$k>a$？成立就往下输出 $S$、结束；不成立就进循环体；
• 循环体：$S=S+\dfrac{1}{k(k+1)}$，然后 $k=k+1$，绕回判断框。

翻译完就可以把图合上了——剩下的全是求和的事。

先钉死两件事，两条路都靠它

第一，判断框在循环体前面，是「先判后做」。 这一点决定了循环体有可能一轮都不跑 （若一上来就 $k>a$）。与「先做后判」的框图不同，那种至少要跑一轮。

第二，循环体到底跑了几轮、加进去的是哪些项。 $k$ 从 $1$ 起，每轮末加 $1$； 当 $k$ 涨到 $a+1$ 时判断 $k>a$ 首次成立、退出。所以循环体恰好跑了

$$k=1,\ 2,\ \ldots,\ a$$

这 $a$ 轮，每轮把 $\dfrac{1}{k(k+1)}$ 加到 $S$ 上。于是程序输出的是

$$S=1+\sum_{k=1}^{a}\frac{1}{k(k+1)} =1+\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{a(a+1)} .$$

顺带把最爱设的那个坑挡掉：退出时 $k=a+1$，而题目问的是 $a$。 本题里 $a=4$、退出时 $k=5$——$5$ 正好是选项 B。看到 $5$ 就填 B 的人， 填的是计数器的终值，不是题目问的那个 $a$。

解法一：裂项相消求出闭式，再解一个方程

$a$ 是字母，逐轮跑是跑不完的。这时候就该求通项——而这个和式恰好是最标准的一条裂项和。

第一步：把每一项拆成两个数的差

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} .$$

拆完立刻通分验一次（十秒钟，能挡住系数与符号两类错）：

$$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}\quad\checkmark$$

第二步：相加，中间的项两两抵消

把消项过程写出来，别心算：

$$\sum_{k=1}^{a}\frac{1}{k(k+1)} =\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) +\cdots+\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\right).$$

$\dfrac12$ 一正一负、$\dfrac13$ 一正一负……中间每一个都出现两次且反号，全部划掉。 这里是错开一位，所以只剩头一项与尾一项（错开两位才会剩下四项）：

$$\sum_{k=1}^{a}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{a+1} .$$

拿 $a=1$ 兜个底：左边 $=\dfrac{1}{1\times2}=\dfrac12$，右边 $=1-\dfrac12=\dfrac12$ ✓。

第三步：加上初值那个 $1$

$$S=1+\left(1-\frac{1}{a+1}\right)=2-\frac{1}{a+1} .$$

第四步：解方程

$$2-\frac{1}{a+1}=\frac{9}{5} \ \Longrightarrow\ \frac{1}{a+1}=2-\frac{9}{5}=\frac{1}{5} \ \Longrightarrow\ a+1=5 ,$$ $$\boxed{a=4,\ \text{选 A}}$$

上块把「裂项相消」这四个字翻成了看得见的东西：$\dfrac{1}{k(k+1)}$ 就是数轴上 $\dfrac{1}{k+1}$ 与 $\dfrac{1}{k}$ 之间那一段的长度。四段首尾相接， 中间那些端点（$\dfrac12$、$\dfrac13$、$\dfrac14$）既是前一段的左端又是后一段的右端—— 这就是「两两抵消」。拼起来是从 $\dfrac15$ 到 $1$ 的一整段，长度 $1-\dfrac15=\dfrac45$。

顺便回答「为什么不用担心还有别的解」

$S(a)=2-\dfrac{1}{a+1}$ 里，$a$ 越大，减掉的 $\dfrac{1}{a+1}$ 越小，所以 $S$ 随 $a$ 严格递增， 方程至多一个解。下块画的正是这件事：八个点一路上升、越升越慢， 横线 $S=\dfrac95$ 只可能穿过其中一个。

顺带看一眼那条 $y=2$ 的灰虚线：$\dfrac{1}{a+1}>0$ 恒成立，所以 $S<2$ 永远成立， $2$ 是够不着的上界。这也解释了为什么四个选项挤成一小堆—— $a$ 取 $4$ 到 $7$，$S$ 只在 $\dfrac95=1.8$ 与 $\dfrac{15}{8}=1.875$ 之间挪动。 靠眼力估、靠感觉猜，在这里一点用都没有；只能老老实实解方程。

解法二：不求通项，照着框图跑，跑到 $\frac{9}{5}$ 为止

上一条路要先会裂项。这一条路什么技巧都不用：$S$ 每轮加一点，加到 $\dfrac95$ 就该停了， 数一数停在第几轮即可。关键只有一句——加的是本轮的 $k$ 对应的那一项，加完 $k$ 才自增。

第 4 轮末，$S$ 第一次达到 $\dfrac95$。

从「停在第 4 轮末」倒推 $a$

程序要在这一刻退出，得同时满足两件事：

• 前四轮都没退出：$k=1,2,3,4$ 时判断 $k>a$ 都不成立，即 $a\ge 4$；
• 第五次判断退出：$k=5$ 时 $k>a$ 成立，即 $a<5$。

两条夹起来，$4\le a<5$，而 $a$ 是选项里的整数，所以

$$\boxed{a=4,\ \text{选 A}}$$

这条路的两个提醒

1. 别把退出时的 $k=5$ 当答案。 输出的是 $S$，问的是 $a$，而计数器的终值是 $a+1$。 $5$ 就摆在选项 B 上等着。
2. 表里那一列 $S$ 其实已经把答案的形状写出来了：$\dfrac32,\dfrac53,\dfrac74,\dfrac95$ 分别是 $2-\dfrac12$、$2-\dfrac13$、$2-\dfrac14$、$2-\dfrac15$。 手推到第三轮就该看出规律——这正是解法一那条闭式，只是从数据里读出来的。

两条路怎么选

考场上本题轮数很少，解法二更快；但只要把 $\dfrac95$ 换成一个大一点的数 （比如 $\dfrac{99}{50}$），解法二立刻加不动，而解法一原封不动照用。 稳的做法是先手推两三轮看出规律，再用闭式收口。

一句话带走

框图题的难点从来不在框图：翻译成「初值 + 循环体 + 退出条件」三行字之后， 剩下的是纯粹的求和问题。

这道题的求和是最经典的一条：

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \ \Longrightarrow\ \sum_{k=1}^{a}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{a+1} .$$

把它想成数轴上首尾相接的几段——中间的端点既是这一段的头又是那一段的尾， 所以一定抵消；剩下的永远是最外面那两个端点。

最后再念一遍那条防坑口诀：输出的是 $S$，问的是 $a$，而计数器停在 $a+1$。