裂项相消

解题套路

要算 $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c_k$，先把通项拆成相邻两项的差：

中间的 $A_2,\dots,A_n$ 各出现一正一负，全部抵消。求和于是退化成两个数相减。

最常见的一类：分母是两个等差项之积

设 $\{b_n\}$ 是公差为 $d\neq0$ 的等差数列，通项形如

关键一步是把常数 $\lambda$ 换成公差：$d=b_{n+1}-b_n$，于是

$b_n=n$ 时就是课本那个 $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}$。系数 $\dfrac{\lambda}{d}$ 是整条路唯一容易写错的地方， 拆完立刻通分验一次最稳。

别的常见形状

• $\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac12\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+2}\right)$——错开两位，剩下的是四项（前两项与后两项）。
• $\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\sqrt{n+1}-\sqrt n$——分母有理化就是裂项。
• $\dfrac{n}{(n+1)!}=\dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{(n+1)!}$。
• $\log\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\log a_{n+1}-\log a_n$——对数把乘积裂成差。

与放缩配合

裂项之后 $S_n=A_1-A_{n+1}$ 是精确值，不是估计。若还要证 $S_n<M$，只需再看一眼 $A_{n+1}$ 的符号： $A_{n+1}>0$ 就给出 $S_n<A_1$。先裂项求出精确和、再放缩，比一上来就逐项放缩稳得多—— 逐项放缩往往把界放松到不够用。