数列

教材原文

一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列（sequence of number），数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号 $a_1$ 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用 $a_2$ 表示……第 $n$ 个位置上的数叫做这个数列的第 $n$ 项，用 $a_n$ 表示。其中第1项也叫做首项。

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.

所以数列 $\{a_{n}\}$ 是从正整数集 $N^{*}$ （或它的有限子集 $\{1, 2, \cdots, n\}$ ）到实数集 R 的函数，其自变量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 $a_{n}$ ，记为 $a_{n}=f(n)$ 。

如果数列 $\{a_{n}\}$ 的第 $n$ 项 $a_{n}$ 与它的序号 $n$ 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．例如，数列③的通项公式为 $a_{n} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n}$ ．显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.

定义

按照确定的顺序排列的一列数叫做数列，其中每一个数叫做这个数列的项：第 $1$ 项记作 $a_1$、 第 $n$ 项记作 $a_n$（第 $1$ 项也叫首项），整个数列简记为 $\{a_n\}$。项数有限的叫有穷数列， 项数无限的叫无穷数列。

要点

• 顺序是数列的一部分。 $1,2,3$ 与 $3,2,1$ 是两个不同的数列，而 $\{1,2,3\}$ 与 $\{3,2,1\}$ 是同一个集合。 数列还允许各项相等（常数列），集合的元素则互异。$\{a_n\}$ 是「整个数列」的简记，不是集合。
• 数列就是函数：自变量是序号 $n\in\mathbf{N}^*$，函数值是第 $n$ 项，$a_n=f(n)$。 区别只在自变量离散——于是函数那一套（单调性、最值、图象）可以整套搬过来， 而图象是平面上一串孤立的点 $(n,a_n)$，不连成曲线。
• 通项公式：把 $a_n$ 与序号 $n$ 的对应关系写成一个式子（$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$ 这样）， 于是任何一项都能直接算出来。课本一律说「一个通项公式」——由前几项猜通项不唯一， 写完必须逐项代回去验。
• 另一种给法是递推公式：首项 + 相邻项的关系（$a_1=1,\ a_n=2a_{n-1}$）。它同样定出整个数列， 但不是通项公式：要第 $100$ 项就得一路递推过去。