浙江 2013 · 数学 q18

冷启动：两问是两件事，别串了

（Ⅰ） 是最标准的基本量题：$a_{1}$ 已知，只剩一个未知数 $d$， 把「$a_{1}$，$2a_{2}+2$，$5a_{3}$ 成等比数列」翻成一个方程就完了。翻译的钥匙只有一句：

$$a,\;G,\;b\ \text{成等比}\iff G^{2}=ab .$$

（Ⅱ） 是另一回事。它给的 $d<0$ 是这一问才有的条件——第（Ⅰ）问的两个 $d$ 都要答， 到第（Ⅱ）问才只留 $d=-1$。剩下的全部难点浓缩在一个数上：

$$a_{n}=-n+11 \quad\Longrightarrow\quad a_{11}=0 .$$

$a_{11}=0$ 就是这道题的枢纽。前 $11$ 项非负，加绝对值等于不加；从第 $12$ 项起变负， 加了绝对值就要变号。所以答案必然是两段，分界正好在 $11$ 与 $12$ 之间。

解法一：老实分段——$n\leqslant11$ 直接求和，$n\geqslant12$ 用 $2S_{11}-S_{n}$

（Ⅰ） 设公差为 $d$，则 $a_{2}=10+d$、$a_{3}=10+2d$。由等比中项，

$$(2a_{2}+2)^{2}=a_{1}\cdot 5a_{3} \;\Longrightarrow\; (22+2d)^{2}=10\cdot 5(10+2d),$$ $$484+88d+4d^{2}=500+100d \;\Longrightarrow\; 4d^{2}-12d-16=0 \;\Longrightarrow\; d^{2}-3d-4=0 .$$

解得 $d=-1$ 或 $d=4$。

两支都要验一下中项非零：$2a_{2}+2=22+2d$，$d=-1$ 时是 $20$、$d=4$ 时是 $30$， 都不为 $0$；$a_{1}=10$、$5a_{3}=5(10+2d)$ 也都不为 $0$。两支都成立，一个都不能扔。于是

$$d=-1,\;a_{n}=10-(n-1)=-n+11 ;\qquad d=4,\;a_{n}=10+4(n-1)=4n+6 .$$

（Ⅱ） $d<0$，取 $d=-1$，$a_{n}=-n+11$。先定分界：

$$a_{n}\geqslant 0\iff -n+11\geqslant 0\iff n\leqslant 11 .$$

前 $n$ 项和用首末配对，

$$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=\frac{n\bigl(10+(11-n)\bigr)}{2}=-\frac{1}{2}n^{2}+\frac{21}{2}n .$$

记 $T_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots+|a_{n}|$，分两种情形：

• $n\leqslant 11$：每一项都非负，绝对值白加，$T_{n}=S_{n}=-\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{21}{2}n$。
• $n\geqslant 12$：前 $11$ 项照抄（和是 $S_{11}=55$），后面每一项变号，那一截的和是 $-(S_{n}-S_{11})$，所以

$$T_{n}=S_{11}-(S_{n}-S_{11})=2S_{11}-S_{n}=110-\left(-\frac{1}{2}n^{2}+\frac{21}{2}n\right) =\frac{1}{2}n^{2}-\frac{21}{2}n+110 .$$

衔接要验：把 $n=11$ 代进两段，前一段得 $-\frac{121}{2}+\frac{231}{2}=55$， 后一段得 $\frac{121}{2}-\frac{231}{2}+110=55$——同值。这不是巧合，正是因为 $a_{11}=0$。

解法二：设元中心挪到 $a_{2}$，后一段当成一个新的等差数列从 $1$ 数起

（Ⅰ） 条件里的三项 $a_{1}$、$2a_{2}+2$、$5a_{3}$ 全挨着 $a_{2}$，那就别以 $d$ 为主元。 设 $a_{2}=t$，则 $a_{1}=t-d$、$a_{3}=t+d$；由 $a_{1}=10$ 得 $d=t-10$，于是 $a_{3}=2t-10$。代进去：

$$(2t+2)^{2}=10\cdot 5(2t-10) \;\Longrightarrow\; 4t^{2}+8t+4=100t-500 \;\Longrightarrow\; t^{2}-23t+126=0 .$$ $$t=\frac{23\pm\sqrt{529-504}}{2}=\frac{23\pm 5}{2}=14\ \text{或}\ 9 .$$

对应 $d=t-10=4$ 或 $-1$，两支的中项 $2a_{2}+2=2t+2$ 分别是 $30$、$20$，都不为 $0$，两支都留。通项分别是

$$d=-1:\;a_{n}=10-(n-1)=-n+11 ;\qquad d=4:\;a_{n}=10+4(n-1)=4n+6 .$$

这条路的算式里没有 $d^{2}$ 与 $a_{1}$ 的交叉项，展开时少一次出错的机会。

（Ⅱ） $d=-1$、$a_{n}=11-n$。

$n\leqslant 11$ 时每一项都非负，绝对值可以直接去掉，首末配对即可：

$$T_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=\frac{n\bigl(10+(11-n)\bigr)}{2}=\frac{n(21-n)}{2} =-\frac{1}{2}n^{2}+\frac{21}{2}n .$$

特别地 $T_{11}=S_{11}=\dfrac{11\times 10}{2}=55$，这是后一段要用的常数底。 关键是后一段：当 $k\geqslant 12$ 时

$$|a_{k}|=|11-k|=k-11 ,$$

也就是 $1,2,3,\dots$——它本身就是一个首项 $1$、公差 $1$ 的等差数列。 从 $k=12$ 数到 $k=n$ 共 $n-11$ 项，末项是 $n-11$，所以这一截的和是

$$\frac{(n-11)\bigl(1+(n-11)\bigr)}{2}=\frac{(n-11)(n-10)}{2} .$$

于是 $n\geqslant 12$ 时

$$T_{n}=55+\frac{(n-11)(n-10)}{2}=55+\frac{n^{2}-21n+110}{2}=\frac{1}{2}n^{2}-\frac{21}{2}n+110 .$$

跟解法一得到同一个式子。这条路全程没有用到 $S_{n}$，是对解法一那步 $2S_{11}-S_{n}$ 的独立验算。

解法三：不背分段公式——负的那一截减两遍，再用顶点验分界

$n\geqslant 12$ 那一段的公式其实不用记，一行就能推出来。把「取绝对值」翻译成「把负项的贡献减两遍」：

$$T_{n}=\sum_{k=1}^{n}|a_{k}| =\sum_{k=1}^{n}a_{k}-2\!\!\sum_{k:\,a_{k}<0}\!\!a_{k} =S_{n}-2\bigl(S_{n}-S_{11}\bigr)=2S_{11}-S_{n} .$$

（中间那步用到：$n\geqslant12$ 时取负值的下标恰是 $12,13,\dots,n$，它们那一截的和就是 $S_{n}-S_{11}$。） 这个写法的好处是：$n\leqslant 11$ 时一个负项也没有，减去的那一项为 $0$，公式自动退化成 $T_{n}=S_{n}$——两段是同一句话的两种情形。

分界点也能不解不等式就看出来。 把 $S_{n}$ 配方：

$$S_{n}=-\frac{1}{2}\left(n^{2}-21n\right) =-\frac{1}{2}\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}+\frac{441}{8} .$$

顶点在 $n=\dfrac{21}{2}=10.5$，而 $n$ 只能取整数，离顶点最近的两个是 $10$ 与 $11$， 它们到对称轴等距，所以 $S_{10}=S_{11}=55$ 同为最大值。 $S_{n}$ 从 $n=11$ 之后开始下降，等价于 $a_{12},a_{13},\dots$ 全为负—— 「分界在 $11$」这件事，从和的图象上一眼就能读出来，不必另解一个不等式。

三条提醒

1. 第（Ⅰ）问要答两组。 $d<0$ 写在第（Ⅱ）问里，不是全题的前提。只答 $d=-1$ 直接丢一半分。
2. 分段答案不能只写后一段。 $n\leqslant 11$ 那一段也是答案的一部分， 而且写完两段一定要把 $n=11$ 代进去对一次——两段在这里必须同值。
3. 别把 $T_{n}$ 写成 $|S_{n}|$。 $|a_{1}|+\cdots+|a_{n}|$ 与 $|a_{1}+\cdots+a_{n}|$ 是两码事： 本题 $S_{15}=45>0$，而 $T_{15}=65$，差得很远。