数列的前n项和

教材原文

在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一．我们把数列 $\{a_{n}\}$ 从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，记作 $S_{n}$ ，即

$S _ {n} = a _ {1} + a _ {2} + \dots + a _ {n}.$

如果数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 与它的序号 $n$ 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前 $n$ 项和公式.

$a _ {n} = \left\{ \begin{array}{l l} S _ {1}, & n = 1, \\ S _ {n} - S _ {n - 1}, & n \geqslant 2. \end{array} \right.$

定义

——前 $n$ 项和是「累计到第 $n$ 项」的那个总数，它自己也是一个以 $n$ 为自变量的数列。 把 $S_n$ 与 $n$ 的对应关系写成一个式子，那个式子叫前 $n$ 项和公式。

要点

• $S_n$ 与 $a_n$ 是两回事：$a_3$ 是第 $3$ 项，$S_3=a_1+a_2+a_3$ 是前三项之和。 题目问哪一个，读题时就得分清。
• 反过来求通项要分段：$S_1=a_1$，而 $n\geqslant2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$—— $n=1$ 处用不了作差（式子里会出现没有定义的 $S_0$）。求出的通项必须把 $n=1$ 代回去核一次： 对得上才能合并成一个式子，对不上就分段写。
• 两个和相减剩下的是一段连续项：$p<q$ 时 $S_q-S_p=a_{p+1}+\cdots+a_q$，公共的前 $p$ 项整段对消。 凡是新数列由两个 $S$ 之差定义（$b_n=S_{2n}-S_n$ 这一类），第一步是先认出剩下的是哪一段， 而不是去展开两个求和公式。
• 由通项求和的三条常见路：逐项相加（项数很少时最快）；套等差、等比的求和公式（先验它真是等差或等比）； 或者先猜一个封闭式再用 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 验证。