由通项求前n项和

题型说明

• 常见问法：已知 $a_n=$ 某式，求 $S_k$（$k$ 是具体的小数字）或求 $S_n$ 的公式。 前者多为填空、选择，几十秒的题；后者是解答题里的一小问。
• 第一件事是看项数：问的是 $S_3$、$S_4$ 这种小下标，逐项算出来相加永远最快、最不容易错， 不必去找求和公式；问的是一般的 $S_n$，才需要求和的技术。
• 求一般 $S_n$ 的几条路：验出是等差或等比就套那两条求和公式；通项能拆成「相邻两项之差」的 就裂项相消；一次多项式乘等比的用错位相减；都不像的，可以先猜一个封闭式再用 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 验证（见套路：和式先猜后验）。
• 注意通项的定义域：$a_n$ 从 $n=1$ 起，$S_n$ 也从第 $1$ 项起累计。分段给出的通项要分段求和。

常见陷阱

• 把问的 $S_k$ 答成 $a_k$（见易错点：前n项和与第n项混同）——本题型最高频的失分。
• 通项长得像等差 / 等比就直接套求和公式：套之前得先验 $a_{n+1}-a_n$ 为常数（或 $a_{n+1}/a_n$ 为常数）。
• 项数数错：从第 $m$ 项加到第 $n$ 项共 $n-m+1$ 项，不是 $n-m$ 项。