浙江 2020 · 数学 q11

冷启动：给的是「每一项」，问的是「加起来」

题面只有一行：

$$a_n=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \text{求 } S_3 .$$

两个记号得分清。$a_n$ 是通项公式——把序号代进去就得到那一项；$S_3$ 是前三项之和：

$$S_3=a_1+a_2+a_3 .$$

所以这道题不是「代一次 $n=3$」。代一次得到的是 $\frac{3\times4}{2}=6$，那是第三项 $a_3$； 答案要的是三个数加起来。这就是本题唯一的机关——它不考技巧，考读题。

关键卡点：$S$ 与 $a$ 是两个不同的数列。下面两条路都从这一句出发， 一条老老实实把三项加起来，一条顺手把「加到第 $n$ 项」的公式一次性求出来。

解法一：三项算出来，加一次

怎么想到的。 问的下标只有 $3$，逐项代入一共三次乘除、再加一次，比找任何求和公式都快。 「项数少就直接加」不是偷懒——它是这类填空题的标准动作，也是最不容易出错的一条。

① 代 $n=1,2,3$。 分子是「序号乘序号加一」，分母恒为 $2$：

$$a_1=\frac{1\times 2}{2}=1,\qquad a_2=\frac{2\times 3}{2}=3,\qquad a_3=\frac{3\times 4}{2}=6 .$$

② 加起来。

$$S_3=a_1+a_2+a_3=1+3+6=10 .$$

③ 回头核一遍问的是哪个量。 题面写的是 $S_3$ 而不是 $a_3$，故答案是 $10$，不是 $6$。 顺手做一次量级检查：各项都是正的，$S_3$ 必然比其中最大的 $a_3=6$ 还大——答成 $6$ 当场就露馅。

故 $S_3=10$，与官方答案一致。

这三项 $1,3,6$ 值得记住：它们正是「一层一层堆起来的点阵」的点数（第 $k$ 项是 $1+2+\cdots+k$）， 教科书讲通项时就用这个数列作第一个例子。认出这一点，第二条路的公式几乎是白送的。

解法二：先把 Sₙ 的公式求出来，再代 n=3

怎么想到的。 考场上第一条就够了；但把 $S_n$ 一次求出来，这道题就从「问 $S_3$」升级成 「问任何一个 $S_n$」。而 $a_n$ 是 $n$ 的二次式，它的和该是三次式—— 再看前几个和 $1,4,10,20$，三个连续整数之积除以 $6$ 是最自然的候选：

$$F(n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.$$

$F(1)=\frac{1\times2\times3}{6}=1=a_1$，起点对上了。但对上几个数不等于对上所有 $n$， 所以还要验一条恒等式。

① 验差分。 对 $n\geqslant 2$，

$$F(n)-F(n-1) =\frac{n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}{6} =\frac{n(n+1)\bigl[(n+2)-(n-1)\bigr]}{6} =\frac{3n(n+1)}{6} =\frac{n(n+1)}{2} =a_n .$$

提出公因式 $n(n+1)$ 之后中括号里只剩 $3$，这一步没有任何技巧，纯是展开。

② 由此断定 $S_n=F(n)$ 对一切 $n\in\mathbf{N}^*$ 成立。 理由：前 $n$ 项和由两件事唯一确定—— 起点 $S_1=a_1$，以及递推 $S_n=S_{n-1}+a_n$。而 $F$ 满足同样的起点（第 ① 步之前那一句） 和同样的递推（第 ① 步），故两者逐项相等。这就是「猜一个封闭式再用 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 验证」 这条套路的完整形态：猜可以随意，验必须是恒等式。

③ 代 $n=3$。

$$S_3=\frac{3\times 4\times 5}{6}=\frac{60}{6}=10 .$$

与解法一一致。附带的好处是：现在问 $S_{10}$ 也是一行——$\frac{10\times11\times12}{6}=220$， 而解法一要老老实实加十个数。

两条路差在哪

考场上填空题只该走第一条。第二条的价值不在这道题，而在它把「$a_n$ 与 $S_n$ 靠 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 互相换算」这条主干动作练了一遍——那是数列这一章真正反复考的东西。

避坑

• 问 $S_3$ 答 $a_3$。 本题唯一的真陷阱，也是它设在卷首的用意：代一次通项得到的 $6$ 是第三项。落笔前先把要求的量写下来（写 $S_3=$ 而不是 $a_3=$），算完再核一次。
• 看到 $\frac{n(n+1)}{2}$ 就当等差数列。 相邻两项之差 $a_{n+1}-a_n=n+1$ 随 $n$ 变（$2,3,4,\dots$）， 它不是等差数列，那条求和公式套不上。要套，先验差是不是常数。
• 项数数错。 前 $3$ 项是 $a_1,a_2,a_3$ 三项；从第 $m$ 项加到第 $n$ 项是 $n-m+1$ 项，不是 $n-m$ 项。
• 分母忘了除。 $n(n+1)$ 与 $\frac{n(n+1)}{2}$ 差一倍：$1\times2=2$ 而 $a_1=1$。代完看一眼第一项对不对，最省事。
• 解法二只核几个数就收工。 $F(1)=S_1$、$F(2)=S_2$、$F(3)=S_3$ 全对也不能断言恒等—— 差分那一步是对每个 $n$ 的展开，缺了它，结论只是「前几个碰巧一样」。
• 填空题的答案格式。 就填一个数 $10$，不写单位、不写「$S_3=10$」。

收口

一句话：问的是和就得加一次。$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$ 给出 $1,3,6$，$S_3=1+3+6=10$。 想走远一点，就把 $F(n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ 连同「验起点 + 验差分」那两条一起记下来—— 下次题目问 $S_{10}$、或者反过来给 $S_n$ 让你求 $a_n$，用的都是同一个 $S_n-S_{n-1}=a_n$。