前n项和与第n项混同

易错点

$a_n$ 与 $S_n$ 是两个不同的数列，符号只差一个字母：

给了通项 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$ 问 $S_3$，把 $n=3$ 代进通项得到的 $6$ 是第三项， 所求的 $S_3=1+3+6=10$。反过来，给了 $S_n$ 的式子问「第 $n$ 项」，直接把式子当通项交上去也是同一种错。

之所以冤，是因为它与会不会做无关：两个数都算得出来，只是交错了那一个。而且这类题多在卷首、 分值不低（本条易错点的样题是浙江 2020 年第 11 题，一道填空），丢在这里最不值。

为什么会混

• 符号相邻：$a_n$ 与 $S_n$ 在题面里常常挨着出现（「已知 $\{a_n\}$ 满足……，则 $S_3=$」）， 眼睛扫过去只记住了下标 $3$。
• 课本的例题常常两个都算：由通项写出前几项（$1,3,6,10,15$）之后，那串数里既有 $a_3=6$ 也有 $S_2=4$、$S_3=10$，抄的时候容易抄到相邻的那个数。
• 中文里「前 3 项」与「第 3 项」只差一个字，读题时一目十行就滑过去了。

自检

• 落笔前先把问的量写下来：写 $S_3=$ 还是 $a_3=$，写完再动笔算。
• 算完对一遍量纲：$S_n$ 一定不小于 $a_n$（各项为正时严格大于，$n\geqslant2$）， 答案比某一项还小就一定错了。
• 凡是「和」字出现（前 $n$ 项和、总和、共多少），最后一步必须是一个加法或一条求和公式； 只代了一次通项就得到答案，说明漏了求和这一步。