浙江 2019 · 数学 q20

冷启动：两个条件，各有一个「怎么读」的机关

第 (1) 问是基本量 + 等比条件，第 (2) 问是放缩证和。先把两问的机关各点一句：

• $a_{4}=S_{3}$ 是**「项」与「和」的桥梁**：等差通项和求和公式各给一个式子，两个未知数 $a_{1},d$ 两个方程——但它要求你先分清谁是谁（$a_4$ 是第 4 项、$S_3$ 是前 3 项之和）。
• 「$S_{n}+b_{n},\ S_{n+1}+b_{n},\ S_{n+2}+b_{n}$ 成等比数列」是对每个 $n$ 都成立的 一条性质：中间项是首尾两项的等比中项，直接用等比中项公式把 $b_n$ 解出来。
• 第 (2) 问的目标 $2\sqrt{n}$ 长着一张「裂项求和剩头尾」的脸：$2\sqrt{n}=2(\sqrt{n}-\sqrt{0})$。 所以放缩的终点已经写好在答案里——要找一个 $2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$ 形状的界把 $C_k$ 压住。

第 (1) 问：基本量 + 等比中项（两条路共用）

设公差为 $d$。$a_3=4$ 给 $a_1+2d=4$；$a_4=S_3$ 给

两式一减：$d=3a_1+3d-a_1-2d\Rightarrow$ ……直接解更方便：由第二式 $a_1+3d=3a_1+3d$ 立即得 $a_1=0$，代回第一式 $d=2$。于是

官方解析在这里有一处原书漏印：「则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为.」之后直接是句号、 没印公式（下一行接「其前 $n$ 项和…」）。本站在这里补上 $a_n=2(n-1)$。

再看等比条件。三个数

成等比数列，中间项的平方 = 首尾之积（等比中项公式）：

展开、把 $b_n$ 的一次项与常数项分开（$b_n^2$ 两边抵消）：

左边系数：$2n^2+2n-(n^2-n)-(n^2+3n+2)=-2$；右边：$n(n+1)[(n-1)(n+2)-n(n+1)]=-2n(n+1)$。 所以

怎么想到用中项公式而不是「公比相等」：三个数 $x,y,z$ 成等比，两个写法等价 （$y^2=xz$ 与 $y/x=z/y$），但这里 $x,y,z$ 都是和式，写成平方等于乘积能直接展开成 $b_n$ 的一次方程；写成公比相等要多一步交叉相乘，还要讨论分母不为零。另外顺带验一句： $S_n+b_n=2n^2>0$，三项都不为零，等比数列的项不为零这个前提成立。

解法一：裂项放缩

第 (2) 问要证 $C_1+\cdots+C_n<2\sqrt{n}$，其中

第一步，粗放：分子放大、分母缩小都能把分数放大，选最省的那刀：

所以 $C_n<\dfrac{1}{\sqrt{n}}$。

第二步，凑裂项：$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ 本身没法裂，把它先「加宽」成 $\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$（恒等），再把分母换小成 $\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$：

最后一步是分母有理化：$\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$。

为什么中间要写一步 $\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$：目标 $2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$ 倒过来看就是 $\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$，要够到它必须把分母从 $2\sqrt{n}$ 缩到 $\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$—— 中间那步就是「分子配成 2、分母凑成两根之和」的跳板。这是从目标反推出来的放缩，不是 顺手的化简。

第三步，裂项求和：

中间项两两抵消，只剩头尾 $2(\sqrt{n}-\sqrt{0})=2\sqrt{n}$。第一项 $2(\sqrt{1}-\sqrt{0})=2$ 恰好是 $C_1=0$ 的界（$0<2$ 成立），所以从 $n=1$ 起整条链都不出问题。

解法二：数学归纳法

和式不等式除了放缩裂项，另一条正路是数学归纳法——目标里带着 $n$，天然适合归纳。

奠基：$n=1$ 时 $C_1=\sqrt{\dfrac{a_1}{2b_1}}=0<2\sqrt{1}=2$，成立。

归纳：假设 $C_1+\cdots+C_k<2\sqrt{k}$。要证 $k+1$ 的情形：

只要再证归纳步的那个界：

两边平方（都是正数）：

左边用 $\sqrt{k(k+1)}<k+1$ 放大：

最后一个不等式等价于 $3k<12k+8$，对一切 $k\ge1$ 显然成立。于是

归纳完成。

两条路的分工：解法一的放缩是逐项设计的（每一项的界都长得一样，求和时整体裂掉）； 解法二只在归纳步用一次放缩（而且放得更松、允许用 $\sqrt{k(k+1)}<k+1$ 这种粗界）。 目标函数 $2\sqrt{n}$ 在两条路里都扮演「天然的裂项差」：$2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}$ 恰好是 一项增量——这是 $\sqrt{n}$ 类目标共同的伏笔。

避坑清单