4.1 数列的概念

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4.1 数列的概念

在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象。例如：

1. 王芳从 1 岁到 17 岁，每年生日那天测量身高。将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：

\begin{array}{l} 7 5, 8 7, 9 6, 1 0 3, 1 1 0, 1 1 6, 1 2 0, 1 2 8, 1 3 8, \\ 1 4 5, 1 5 3, 1 5 8, 1 6 0, 1 6 2, 1 6 3, 1 6 5, 1 6 8. \end{array}\tag{①}

记王芳第 i 岁时的身高为 $h_{i}$ ，那么 $h_{1}=75,\ h_{2}=87,\ \cdots,\ h_{17}=168$ 。我们发现， $h_{i}$ 中的 i 反映了身高按岁数从 1 到 17 的顺序排列时的确定位置，即 $h_{1}=75$ 是排在第 1 位的数， $h_{2}=87$ 是排在第 2 位的数…… $h_{17}=168$ 是排在第 17 位的数，它们之间不能交换位置。所以，①是具有确定顺序的一列数。

2. 在两河流域发掘的一块泥版（编号 K90，约产生于公元前 7 世纪）上，有一列依次表示 15 天中从第 1 天到第 15 天每天月亮可见部分的数 $^{①}$ ：

5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240. ②

记第 i 天月亮可见部分的数为 $s_{i}$ ，那么 $s_{1}=5,\ s_{2}=10,\ \cdots,\ s_{15}=240$ 。这里， $s_{i}$ 中的 i 反映了月亮可见部分的数按日期从 1 到 15 的顺序排列时的确定位置，即 $s_{1}=5$ 是排在第 1 位的数， $s_{2}=10$ 是排在第 2 位的数…… $s_{15}=240$ 是排在第 15 位的数，它们之间不能交换位置。所以，②也是具有确定顺序的一列数。

。

①把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示.

3. $-\frac{1}{2}$ 的 n 次幂按 1 次幂、2 次幂、3 次幂、4 次幂……依次排成一列数：

- \frac {1}{2}, \frac {1}{4}, - \frac {1}{8}, \frac {1}{1 6}, \dots .\tag{③}

思考

你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？

归纳

上述例子的共同特征是什么？

一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列（sequence of number），数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号 $a_1$ 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用 $a_2$ 表示……第 $n$ 个位置上的数叫做这个数列的第 $n$ 项，用 $a_n$ 表示。其中第1项也叫做首项。①是按年龄从小到大的顺序排列的，②是按每月的日期从小到大的顺序排列的，③是按幂指数从小到大的顺序排列的，它们都是从第1项开始的。

• •

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.

数列的一般形式是

$a _ {1}, a _ {2}, \dots , a _ {n}, \dots ,$

简记为 $\{a_{n}\}$ .

由于数列 $\{a_{n}\}$ 中的每一项 $a_{n}$ 与它的序号 $n$ 有下面的对应关系：

$\begin{array}{c c c c c c c} \text {序号} & 1 & 2 & 3 & \dots & n & \dots \\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow & & \downarrow \\ \text {项} & a _ {1} & a _ {2} & a _ {3} & \dots & a _ {n} & \dots \end{array}$

所以数列 $\{a_{n}\}$ 是从正整数集 $N^{*}$ （或它的有限子集 $\{1, 2, \cdots, n\}$ ）到实数集 R 的函数，其自变量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 $a_{n}$ ，记为 $a_{n}=f(n)$ 。也就是说，当自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 $f(1)$ ， $f(2)$ ， $\cdots$ ， $f(n)$ ， $\cdots$ 就是数列 $\{a_{n}\}$ 。另一方面，对于函数 $y=f(x)$ ，如果 $f(n)$ （ $n\in N^{*}$ ）有意义，那么

• •

$f (1), f (2), \dots , f (n), \dots$

以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.

构成了一个数列 $\{f(n)\}$ .

与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示。例如，数列①可以表示为表4.1-1。

它的图象如图 4.1-1 所示.

从表 4.1-1 和图 4.1-1 中，你能发现数列①中的项随序号的变化呈现出的特点吗？

与函数类似，我们可以定义数列的单调性。从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。特别地，各项都相等的数列叫做常数列。

如果数列 $\{a_{n}\}$ 的第 $n$ 项 $a_{n}$ 与它的序号 $n$ 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．例如，数列③的通项公式为 $a_{n} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n}$ ．显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.

例1 根据下列数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. (1) $a_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$; (2) $a_{n} = \cos \frac{(n - 1)\pi}{2}$.

解：（1）当通项公式中的 $n = 1, 2, 3, 4, 5$ 时，数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项依次为 $1, 3, 6, 10, 15$.

图象如图 4.1-2(1) 所示.

(2) 当通项公式中的 n=1, 2, 3, 4, 5 时，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 5 项依次为 1, 0, -1, 0, 1.

图象如图 4.1-2(2) 所示.

例 2 根据下列数列的前 4 项，写出数列的一个通项公式：

(1) 1, $-\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $-\frac{1}{4}$ , $\cdots$ ;

(2) 2, 0, 2, 0, $\cdots$ .

解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为

$a _ {n} = \frac {(- 1) ^ {n + 1}}{n} ①.$

（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为

① $(-1)^{n}$ 或 $(-1)^{n+1}$ 常常用来表示正负相间的变化规律.

$a _ {n} = (- 1) ^ {n + 1} + 1.$

练习

1. 写出下列数列的前 10 项，并作出它们的图象：

（1）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列；

(2) 当自变量 x 依次取 1, 2, 3, … 时，函数 $f(x)=2x+1$ 的值构成的数列；

(3) 数列的通项公式为 $a_{n}=\left\{\begin{aligned}&2,&n\text{ 为奇数,}\\ &n+1,&n\text{ 为偶数.}\end{aligned}\right.$

2. 根据数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式填表：

3. 除数函数（divisor function） $y = d(n) (n \in \mathbb{N}^*)$ 的函数值等于 $n$ 的正因数的个数，例如， $d(1) = 1$， $d(4) = 3$。写出数列 $d(1)$， $d(2)$，…， $d(n)$，…的前10项。

4. 根据下列数列的前 5 项，写出数列的一个通项公式：

(1) $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \cdots;$

(2) $1, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{1}{4}, \cdots$.

例3 如果数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} + 2n$ ，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？

分析：要判断120是不是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，就是要回答是否存在正整数 $n$ ，使得$n^2 + 2n = 120$ ，也就是判断上述关于 $n$ 的方程是否有正整数解.

解：令

$n ^ {2} + 2 n = 1 2 0,$

解这个关于 $n$ 的方程，得

$n = - 1 2 (\text {舍去}), \text {或} n = 1 0.$

所以，120 是数列 $\{a_{n}\}$ 的项，是第 10 项.

例4图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.

解：在图 4.1-3（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为 1, 3, 9, 27,

即所求数列的前 4 项都是 3 的指数幂，指数为序号减 1.

因此，这个数列的一个通项公式是

$a _ {n} = 3 ^ {n - 1}.$

换个角度观察图 4.1-3 中的 4 个图形。可以发现， $a_{1}=1$ ，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为 3 个着色小三角形和 1 个无色小三角形。于是从第 2 个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的 3 倍。这样，例 4 中的数列的前 4 项满足 $a_{1}=1$ ， $a_{2}=3a_{1}$ ， $a_{3}=3a_{2}$ ， $a_{4}=3a_{3}$ 。由此猜测这个数列满足公式 $a_{n}=\begin{cases}1,&n=1,\\3a_{n-1},&n\geqslant2.\end{cases}$

• •

当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律。如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察。

像 $a_{n} = 3a_{n - 1}(n\geqslant 2)$ 这样，如果一个数列的相邻两项

或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了.

例5 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_1 = 1$ ，递推公式为 $a_{n} = 1 + \frac{1}{a_{n - 1}} (n\geqslant 2)$ ，写出这个数列的前5项.

解：由题意可知

$a _ {1} = 1,$

$a _ {2} = 1 + \frac {1}{a _ {1}} = 1 + \frac {1}{1} = 2,$

$a _ {3} = 1 + \frac {1}{a _ {2}} = 1 + \frac {1}{2} = \frac {3}{2},$

$a _ {4} = 1 + \frac {1}{a _ {3}} = 1 + \frac {2}{3} = \frac {5}{3},$

$a _ {5} = 1 + \frac {1}{a _ {4}} = 1 + \frac {3}{5} = \frac {8}{5}.$

在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一．我们把数列 $\{a_{n}\}$ 从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，记作 $S_{n}$ ，即

● ●

$S _ {n} = a _ {1} + a _ {2} + \dots + a _ {n}.$

如果数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 与它的序号 $n$ 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前 $n$ 项和公式.

探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题.

显然 $S_{1}=a_{1}$ ，而 $S_{n-1}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}\quad(n\geqslant2)$ ， 于是我们有

$a _ {n} = \left\{ \begin{array}{l l} S _ {1}, & n = 1, \\ S _ {n} - S _ {n - 1}, & n \geqslant 2. \end{array} \right.$

思考

已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = n^{2} + n$ ，你能求出 $\{a_{n}\}$ 的通项公式吗？

因为

$\begin{array}{r l} & {a _ {1} = S _ {1} = 2,} \\ & {a _ {n} = S _ {n} - S _ {n - 1}} \\ & {\qquad = n ^ {2} + n - [ (n - 1) ^ {2} + (n - 1) ]} \\ & {\qquad = 2 n (n \geqslant 2),} \end{array}$

并且当 n=1 时， $a_{1}=2\times1=2$ 依然成立.

所以 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n}=2n$ .

练习

1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.

(1)

2. 根据下列条件，写出数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项：

(1) $a_1 = 1, a_n = a_{n-1} + 2^{n-1} (n \geqslant 2)$;

(2) $a_1 = 3, a_n = \frac{2}{3} a_{n-1} + 1 (n \geqslant 2)$.

3. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n} = 2 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n \geqslant 2)$，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.

4. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = -2n^{2}$，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

习题4.1

复习巩固

1. 写出下列数列的前 10 项，并作出它们的图象：

(1) 素数按从小到大的顺序排列成的数列；

(2) 欧拉函数 $\varphi(n)$ ( $n \in N^{*}$ ) 的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.

2. 根据下列条件，写出数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项：

欧拉函数 $\varphi(n)$ ( $n \in N^{*}$ ) 的函数值等于所有不超过正整数 n，且与 n 互素的正整数的个数，例如， $\varphi(1)=1$ ， $\varphi(4)=2$ .

(1) $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$; (2) $a_{n} = (-1)^{n + 1}(n^{2} + 1)$;

(3) $a_1 = \frac{1}{2}, a_n = 4a_{n-1} + 1 (n \geqslant 2)$; (4) $a_1 = -\frac{1}{4}, a_n = 1 - \frac{1}{a_{n-1}} (n \geqslant 2)$.

3. 观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式： (1)（），-4，9，（），25，（），49；

(2) $1, \frac{1}{3^2}, (\quad), \frac{1}{7^2}, \frac{1}{9^2}, (\quad), \frac{1}{13^2}$;

(3) $1, \sqrt{2}, (\quad), 2, \sqrt{5}, (\quad), \sqrt{7}$;

(4) $\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, (\quad), \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, (\quad)$.

综合运用

4. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的第1项是1，第2项是2，以后各项由 $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n > 2)$ 给出.

(1) 写出这个数列的前 5 项；

(2) 利用数列 $\{a_{n}\}$ ，通过公式 $b_{n}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ 构造一个新的数列 $\{b_{n}\}$ ，试写出数列 $\{b_{n}\}$ 的前 5 项.

5. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数。他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数。请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项。

6. 假设某银行的活期存款年利率为 $0.35\%$ ，某人存入10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存。如果不考虑利息税及利率的变化，用 $a_{n}$ 表示第 $n$ 年到期时的存款余额，求 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 及 $a_{n}$。

拓广探索

7. 已知函数 $f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x}$ ($x \in \mathbb{R}$)，设数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = f(n)$ ($n \in \mathbb{N}^*$)。

(1) 求证 $a_n \geqslant \frac{1}{2}$.

(2) $\{a_{n}\}$ 是递增数列还是递减数列？为什么？

阅读与思考

斐波那契数列

1202年，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170—约1250）出版了他的《算盘书》（Liber Abaci）。他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题：

如果1对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？

在第1个月时，只有1对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，在第3个月时便生下1对小兔子，这时有2对兔子。再过1个月，成熟的兔子再生1对小兔子，而另1对小兔子长大，有3对兔子。如此推算下去，我们可以得到一个表格：

由此可知，从第1个月开始，每月末的兔子总对数是

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

你发现这个数列的规律了吗？

如果用 $F_{n}$ 表示第 $n$ 个月的兔子的总对数，可以看出，

$F _ {n} = F _ {n - 1} + F _ {n - 2} (n > 2).$

这是一个由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列.

斐波那契数列有很多有趣的性质.例如，斐波那契数列满足等式 $F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+\cdots+F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}$ ，我们可以用图形（图1）来表示这个等式。图1中小正方形的边长分别为斐波那契数 $F_{1}=1$ ， $F_{2}=1$ ， $F_{3}=2$ ， $F_{4}=3$ ，…，面积分别为 $F_{1}^{2}$ ， $F_{2}^{2}$ ， $F_{3}^{2}$ ， $F_{4}^{2}$ ，…。前 $n(n=2,3,4,\cdots)$ 个小正方形拼成的长方形的面积依次是两个斐波那

契数的乘积 $F_{2}F_{3}, F_{3}F_{4}, F_{4}F_{5}, \cdots$. 如图1所示, 从内到外依次连接通过小正方形的四分之一圆弧, 就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线. 如果我们在图1上不断增加边长是斐波那契数的正方形, 那么“斐波那契螺旋”也将不断向外延伸, 而且它的形状将越来越接近“黄金比例螺旋”.

更加有趣的是，人们在自然界中发现了许多斐波那契数列。例如，一棵树在第一年长出一条新枝，新枝成长一年后变为老枝，老枝每年都长出一条新枝。每一条树枝都按照这个规律成长，则每年的树枝总数正好构成了斐波那契数列。又如，图2中向日葵的管状小花排列成两组交错的螺旋，从内往外看，逆时针方向的螺旋有13条，顺时针方向的有21条，恰为斐波那契数列的相邻两项。菠萝和松球的鳞片的排列也呈现出类似的规律。

由于斐波那契数列的广泛应用性，美国成立了斐波那契协会，并于1963年创办《斐波那契季刊》，专门发表关于这个数列的研究论文。

有兴趣的同学可以通过浏览互联网或查阅相关书籍搜集资料，进一步了解和研究斐波那契数列。