和式先猜后验

套路说明

什么时候用：通项不是等差也不是等比、裂项也不明显，但前几个 $S_n$ 的值很规整 （$1,4,10,20,35$ 这种），而且题目只要一个答案、不要求你从头推。

三步：

1. 猜形状。 $a_n$ 是 $n$ 的 $d$ 次多项式，$S_n$ 就该是 $d+1$ 次的 （$\sum n$ 是二次、$\sum n^2$ 是三次）。凑成几个连续整数之积的形式最省事， 比如 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$ 猜 $F(n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$。
2. 用几个值定系数。 拿 $n=1,2,3$ 的 $S_n$ 逐个代进候选式子，定出未知系数（或直接确认猜对）。
3. 验两条，缺一不可：
   • $F(1)=a_1$；
   • 对每个 $n\geqslant2$，$F(n)-F(n-1)=a_n$（恒等式，要展开化简，不是代几个数）。

两条验过之后 $S_n=F(n)$ 对一切 $n$ 成立：$S_n$ 由 $S_1=a_1$ 与 $S_n=S_{n-1}+a_n$ 唯一确定， 而 $F$ 满足同样的起点与同样的递推，故两者逐项相等。

为什么第 3 步不能省

只核几个数是验不出恒等式的：$F(n)$ 与真正的 $S_n$ 可以在前五个 $n$ 上一致而从第六个起分道。 第 3 步的差分把「前几个对」升级成「每一个都对」——它就是数学归纳法的递推那一步， 只是写成了一行减法。

注意

• 与 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 那条易错点同源：作差只在 $n\geqslant2$ 上有意义，所以 $n=1$ 必须单独验。
• 猜不出来别硬猜：拆成 $\sum n^2$、$\sum n$ 这类已知和逐块算，或者裂项相消，都是更稳的路。 本套路的适用面是「答案要得快、封闭式一眼能猜到」。
• 考场上验完两条就可以直接用；写解答题时把这两条写出来，那才是完整的理由。