前n项和的最大值

题型说明

• 常见问法：求使 $S_n$ 最大（或最小）的 $n$；求 $S_n$ 的最大值；求正整数 $k$ 使对一切 $n$ 有 $S_k\geq S_n$。
• 第一件事：别去求 $S_n$ 的公式再当函数求最值。 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$， 所以「$S$ 何时掉头」这件事完全由项的符号决定，与 $S_n$ 长什么样无关。

判据

（左边这串保证 $S$ 从 $S_1$ 一路不降地爬到 $S_k$，右边这串保证之后一路不升。$a_1$ 不参与—— 它是起点本身，不是台阶。）

实操就三步：

1. 写出 $a_n$ 的符号判别式（通常是解一个不等式 $a_n\geq 0$）；
2. 找出符号发生变化的那个下标；
3. 证明符号只变一次——变号之后不会再变回来。

第 3 步才是分水岭

• $\{a_n\}$ 是等差数列时，第 3 步免费：公差定号，项的符号最多变一次， 于是解出 $a_n\geq 0$ 的 $n$ 范围就直接得到答案。绝大多数教科书例题都是这一类， 于是「第 3 步」在很多人的印象里根本不存在。
• $\{a_n\}$ 不是等差数列时（含指数与多项式混在一起的通项、含三角因子的通项）， 项的符号完全可以正–负–正地反复。这时候只算出前几项的符号是没有证明任何事的， 必须另外给出一条单调性或一个不等式，把「$n$ 大了以后恒为某号」立住。

常见陷阱

• 拿 $a_n=0$ 去「解出」最大值位置。$a_n=0$ 只是符号变化的一种可能形式， 项可以从正直接跳到负而从不取零；反过来某个 $a_n=0$ 也不意味着 $S$ 在那里掉头 （零项既不抬高也不压低和，前后两个下标的 $S$ 相等）。
• 只验有限项就收工（详见易错点「验了前几项就当成对所有n成立」）。
• 答案问的是下标 $k$，不是最大值 $S_k$；两者都要看清题目要哪一个。