验了前几项就当成对所有n成立

错在哪

一句形如「对一切 $n\in\mathbf{N}^{*}$，$P(n)$ 成立」的话，要证的是无穷多件事。 代进几个数验算，验多少个都只覆盖了其中有限件，剩下的无穷多件一件也没碰到。

这条纪律是不对称的：

• 找到一个 $n$ 使 $P(n)$ 假 $\Rightarrow$ 命题被推翻。举反例是完整的证明。
• 找到 $N$ 个 $n$ 使 $P(n)$ 真 $\Rightarrow$ 什么也没证到。验算不是证明。

数列题里这个坑最深的地方是指数与多项式赛跑：$2^{n}$ 与 $n(n+1)$、$2^{n}$ 与 $n^{2}$、 $n!$ 与 $2^{n}$ 这些对子，在小下标处大小关系可以来回换手，验到 $n=4$、$n=5$ 时看到的方向， 未必就是最终的方向。

一个一眼可见的例子

$n(n+1)$ 与 $2^{n}$：

两者相遇了两次：$n=1$ 处相等，然后左边领先三步，到 $n=5$ 又被反超。 只验 $n=1,2,3,4$ 会得出「$n(n+1)\geq 2^{n}$ 恒成立」——错。 只验到 $n=5$ 就写「从此 $2^{n}$ 更大」——结论对，但这一步没有被证明， 和上一句的错法是同一种错，只是这次运气好。

怎么避免

把「$n$ 大了以后恒如此」单独立起来，三条常用工具：

1. 比值（或差）判单调：令 $t_n$ 为待比较的商，算 $\dfrac{t_{n+1}}{t_n}$ 或 $t_{n+1}-t_n$， 证它从某个下标起定号；单调加上一处数值验算就够了。
2. 数学归纳法：起点验一个数，递推步把「下一个」推出来。
3. 连续化：把 $n$ 放成实变量，取对数拉平幂次，用导数定符号； 顺带得到「只变号一次」这类离散手段不易直接给出的结论。

自检

写完「对一切 $n$ 成立」之后，回头找这句话的依据。 依据里若只有一张代数值的表，就是漏了证明。