易错点

逐项都小就断定和也小

两个和式比大小时，「每一项都更小 ⇒\Rightarrow 和更小」只在**每一项都更小**时成立；只验了前几项就外推，往往正好在后面翻盘——比的是和，就得比和。

坑在哪

要比 ∑k=1ntk\displaystyle\sum_{k=1}^{n}t_{k} 与 ∑k=1nsk\displaystyle\sum_{k=1}^{n}s_{k}，很多人先算几项：

t1=s1,t2<s2,t3<s3,t4<s4 …t_{1}=s_{1},\quad t_{2}<s_{2},\quad t_{3}<s_{3},\quad t_{4}<s_{4}\ \dots

于是断言「每项都不大，所以和也不大」。但你只验了四项。

2011 浙江理 19 就是现成的反例。那里

tk=1k(k+1) (An 的第 k 项),sk=12k (Bn 的第 k 项),t_{k}=\frac{1}{k(k+1)}\ (\text{$A_{n}$ 的第 $k$ 项}),\qquad s_{k}=\frac{1}{2^{k}}\ (\text{$B_{n}$ 的第 $k$ 项}),

前四项确实 tk≤skt_{k}\leq s_{k}，可是

t5=130>132=s5,t6=142>164=s6, …t_{5}=\frac{1}{30}>\frac{1}{32}=s_{5},\qquad t_{6}=\frac{1}{42}>\frac{1}{64}=s_{6},\ \dots

从第 55 项起反过来了，而且此后永远反着（k(k+1)k(k+1) 是多项式，2k2^{k} 是指数，指数终究跑赢）。 所以「逐项比较」这条路在这道题上根本走不通——尽管最终结论 An<BnA_{n}<B_{n} 是对的。

为什么结论还对

因为前几项拉开的差距足够大，后面那些反向的小零头补不回来。 和的大小是整体的事：∑tk=1−1n+1\sum t_{k}=1-\dfrac{1}{n+1}、∑sk=1−12n\sum s_{k}=1-\dfrac{1}{2^{n}}， 比的是 1n+1\dfrac{1}{n+1} 与 12n\dfrac{1}{2^{n}}，与单项的胜负没有直接关系。

怎么做才对

  1. 把两个和各自求出闭式（裂项相消、等比求和、错位相减），再比闭式——本题走的就是这条。
  2. 求不出闭式时用作差：∑(sk−tk)\sum(s_{k}-t_{k}) 整体定号，而不是逐项定号。
  3. 真要用逐项比较，必须证明对每一个 kk 都有 tk≤skt_{k}\leq s_{k}（数学归纳法或直接不等式）， 验前几项只能用来猜结论，不能用来证。

顺带

反方向也一样错：「有一项更大，所以和更大」同样不成立。 单项与和之间只有一个方向是安全的——全体逐项不小于，则和不小于。

学它之前先会

共 2 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。