裂项相消后剩下的项数错

错在哪

裂项相消的结论不是一句口诀，而是取决于裂开的两项错开几位：

• 错开一位（$c_k=A_k-A_{k+1}$）：剩 $A_1-A_{n+1}$，头一项、尾一项；
• 错开两位（$c_k=A_k-A_{k+2}$）：剩 $A_1+A_2-A_{n+1}-A_{n+2}$，头两项、尾两项。

$\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac12\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+2}\right)$ 的和是 $\dfrac12\left(1+\dfrac12-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right)$，写成 $\dfrac12\left(1-\dfrac{1}{n+2}\right)$ 就错了。

另外两处高频错：

• 系数丢了。$\dfrac{\lambda}{b_nb_{n+1}}$ 裂成 $\left(\dfrac{1}{b_n}-\dfrac{1}{b_{n+1}}\right)$ 时， 前面那个 $\dfrac{\lambda}{d}$（$d$ 是公差）常被写成 $\lambda$ 或 $\dfrac1d$。
• 正负写反。$\dfrac{1}{b_n}-\dfrac{1}{b_{n+1}}$ 在 $d>0$ 时为正；顺序颠倒，整个和就变号。

怎么避免

1. 裂完立刻通分验一步：把 $\dfrac{\lambda}{d}\left(\dfrac{1}{b_n}-\dfrac{1}{b_{n+1}}\right)$ 合并回去， 看是不是原来的 $c_n$。这一步只花十秒，能挡住系数与符号两类错。
2. 用小 $n$ 兜底：取 $n=1$（有时再取 $n=2$）把裂项后的和与直接相加的结果对一次。 $S_1$ 必须等于 $c_1$——这一条几乎能抓住所有「剩几项」的错。
3. 把消项过程写出来，别心算。写成 $\left(A_1-A_2\right)+\left(A_2-A_3\right)+\cdots+\left(A_n-A_{n+1}\right)$ 再划掉，剩什么一目了然；阅卷也认这一步。
4. 结论回头看数量级：$S_n$ 应当随 $n$ 单调、且趋向那个界。若算出来的 $S_n$ 不单调或超过界， 多半是项数或系数错了。