前n项和的递推求首项与指定和

题型说明

• 常见问法：「设 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_2=4$，$a_{n+1}=2S_n+1$（$n\in\mathbb{N}^{*}$）， 则 $a_1=$　，$S_5=$　」。多为填空题的中档位置。
• 它的骨架在于「项」与「和」混写在同一个式子里。只要把两者之一消掉，题就塌成一条普通递推：
  • 消掉项 → 用 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$，条件变成 $S$ 自己的递推；
  • 消掉和 → 把相邻两个条件式相减，$S$ 一走，剩下 $a$ 自己的递推。
• 附带那个具体的和（$S_2=4$、$S_3=7$ 之类）不是多余的：递推式本身管不到首项， 首项只能靠它定。

两条固定路线

指定的 $k$ 很小（$5$ 以内）时，逐步递推常常比求闭式更快也更不容易错； $k$ 大或者要通项时才值得把闭式解出来。

为什么首项必须单独定

$a_{n+1}=cS_n+d$ 只在 $n\geqslant1$ 时说话，它管的是 $a_2,a_3,\dots$—— $a_1$ 在这个式子里从来没有作为「左边」出现过。所以无论把递推推得多漂亮， $a_1$ 都得由额外那个条件（$S_2$ 的值）解出来。同理，作差得到的等比关系也只从第 $2$ 项起成立， 要说「整条数列等比」必须再验一次 $a_2=(1+c)a_1$。