浙江 2016 · 数学 q13

题面

13．（6分）（2016•浙江）设数列$\{a_{\mathrm{n}} \}$的前n项和为$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$，若\mathrm{S}_{2}{=} 4$$\mathrm{a_{n + 1}}{=} 2 \mathrm{S}_{\mathrm{n}}{+} 1 , \mathrm{n}{\in} \mathrm{N}^{*}，则a₁=，S₅=

答案

1，121

解析

分析

运用n=1时，$a_{1} = S_{1}$，代入条件，结合$\mathrm{S}_{2}{=} 4$，解方程可得首项；再由$n > 1$时，\mathrm{a_{n + 1}}{=} \mathrm{S_{n + 1}}$$- \mathrm{S}_{\mathrm{n}}，结合条件，计算即可得到所求和

解答

解：由n=1时，$a_{1} = S_{1}$，可得$\mathrm{a}_{2}{=} 2 \mathrm{S}_{1}{+} 1 {=} 2 \mathrm{a}_{1}{+} 1$

又$\mathrm{S}_{2}{=} 4$，即$a_{1} + a_{2}{=} 4$

即有$3 \mathrm{a}_{1} + 1 {=} 4$，解得$a_{1}{=} 1$

由$\mathrm{a_{n + 1}}{=} \mathrm{S}_{\mathrm{n} + 1} \ - \ \mathrm{S}_{\mathrm{n}} ,$，可得

$\mathrm{S}_{\mathrm{n} + 1}{=} 3 \mathrm{S}_{\mathrm{n}}{+} 1$

由$\mathrm{S}_{2}{=} 4$，可得${\mathrm{S}}_{3}{=} 3 {\times} 4 {+} 1 {=} 1 3$

$\mathrm{S}_{4} = 3 \times 1 3 + 1 = 4 0,$

${S}_{5} = 3 \times 4 0 + 1 = 1 2 1$

故答案为：1，121