浙江 2016 · 数学 q13

冷启动：一个式子里同时站着「项」和「和」

题给两句：

$$S_2=4,\qquad a_{n+1}=2S_n+1\quad(n\in\mathbb{N}^{*}),$$

问 $a_1$ 与 $S_5$。

麻烦全在第二句：左边是第 $n+1$ 项，右边是前 $n$ 项的和——两种不同的东西写在一个等号两边。 只要把其中一种消掉，它就塌成一条再普通不过的递推：

• 消掉项：$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 代进去，剩下的全是 $S$，得 $S_{n+1}=3S_n+1$；
• 消掉和：把 $n$ 与 $n+1$ 两个条件式相减，$S$ 自动走掉，剩下的全是 $a$，得 $a_{n+2}=3a_{n+1}$。

两条路都要先解决同一件事：$a_1$ 从哪来。第二句只在 $n\geqslant1$ 时说话， 左边最早出现的是 $a_2$——$a_1$ 从来没被它管过。所以 $a_1$ 只能由 $S_2=4$ 这句解出来。

解法一：消掉项，条件变成 $S_{n+1}=3S_n+1$，逐步递推

第一步：取 $n=1$，把 $S_2=4$ 用掉，定出 $a_1$

条件 $a_{n+1}=2S_n+1$ 对每个正整数 $n$ 成立，取 $n=1$：

$$a_2=2S_1+1 .$$

而前 $1$ 项的和就是第 $1$ 项，$S_1=a_1$，所以

$$a_2=2a_1+1 .$$

再用 $S_2=a_1+a_2=4$：

$$a_1+(2a_1+1)=4\ \Longrightarrow\ 3a_1=3\ \Longrightarrow\ a_1=1 .$$

顺带 $a_2=2\cdot1+1=3$，检查 $a_1+a_2=1+3=4=S_2$，对上了。

第二步：把「项」换成两个「和」之差

对每个 $n\geqslant1$，

$$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$$

（这是前 $n$ 项和的定义直接给的：$S_{n+1}$ 比 $S_n$ 恰好多加了 $a_{n+1}$ 一项）。 它与题给的 $a_{n+1}=2S_n+1$ 说的是同一个数，于是

$$S_{n+1}-S_n=2S_n+1\ \Longrightarrow\ S_{n+1}=3S_n+1\qquad(n\geqslant1).$$

现在式子里只剩 $S$ 了。

第三步：从 $S_2=4$ 往上递推三步

$$S_3=3\times4+1=13,\qquad S_4=3\times13+1=40,\qquad S_5=3\times40+1=121 .$$

免费的自检：这条递推在 $n=1$ 也成立，用它从 $S_1=a_1=1$ 往前推一步应当得到题给的 $S_2$——

$$3\times1+1=4=S_2 .\ \checkmark$$

首项和递推同时被验过，中间三步就不会整体跑偏。

第四步：要闭式的话，用不动点把常数项消掉

递推 $S_{n+1}=F(S_n)$ 里 $F(x)=3x+1$。解 $F(x)=x$：

$$3x+1=x\ \Longrightarrow\ x^{*}=-\frac12 .$$

把这个不动点减掉，常数项就没了：令 $b_n=S_n+\dfrac12$，则

$$b_{n+1}=S_{n+1}+\frac12=3S_n+1+\frac12=3\left(S_n+\frac12\right)=3b_n .$$

$b_1=S_1+\dfrac12=\dfrac32$，故 $b_n=\dfrac32\cdot3^{\,n-1}=\dfrac{3^{n}}{2}$，于是

$$S_n=\frac{3^{n}-1}{2}.$$

代 $n=5$：$S_5=\dfrac{243-1}{2}=121$，与递推结果一致；代 $n=2$ 得 $\dfrac{9-1}{2}=4=S_2$，也对。

$$\boxed{a_1=1,\qquad S_5=121}$$

解法二：消掉和，相邻两式作差得 $a_{n+2}=3a_{n+1}$，认出等比

第一步：同样先定 $a_1$

取 $n=1$：$a_2=2S_1+1=2a_1+1$。配上 $S_2=a_1+a_2=4$：

$$3a_1+1=4\ \Longrightarrow\ a_1=1,\qquad a_2=3 .$$

第二步：把两个条件式相减，$S$ 自己走掉

条件对每个正整数都成立，所以把 $n$ 与 $n+1$ 各写一遍：

$$a_{n+1}=2S_n+1,\qquad a_{n+2}=2S_{n+1}+1\qquad(n\geqslant1).$$

下式减上式，右边的常数 $1$ 抵消，而 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$：

$$a_{n+2}-a_{n+1}=2\left(S_{n+1}-S_n\right)=2a_{n+1}\ \Longrightarrow\ a_{n+2}=3a_{n+1}\qquad(n\geqslant1).$$

把下标写得直白些：从第 $2$ 项起，每一项都是前一项的 $3$ 倍。

第三步：补验第一项，才敢说「整条都等比」

上一步只覆盖了 $a_2,a_3,a_4,\dots$，说不到 $a_1$ 与 $a_2$ 之间的比。单独算：

$$\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{1}=3 .$$

同样是 $3$，所以比值从第 $1$ 项就开始了。于是 $\{a_n\}$ 是首项 $1$、公比 $3$ 的等比数列：

$$a_n=3^{\,n-1}.$$

（这一验不能省。若 $a_2/a_1$ 不等于 $3$，数列就只是「从第 $2$ 项起等比」， 求和时得把 $a_1$ 单拎出来加。）

第四步：套求和公式

首项 $a_1=1$、公比 $q=3\neq1$，前 $n$ 项和

$$S_n=\frac{a_1\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{1-3^{n}}{1-3}=\frac{3^{n}-1}{2}.$$

取 $n=5$：

$$S_5=\frac{3^{5}-1}{2}=\frac{243-1}{2}=\frac{242}{2}=121 .$$

回验两个条件：$S_2=\dfrac{9-1}{2}=4$，与题给相符；

$$2S_n+1=2\cdot\frac{3^{n}-1}{2}+1=3^{n}=a_{n+1}.\ \checkmark$$ $$\boxed{a_1=1,\qquad S_5=121}$$

两条路怎么选

问的是 $S_5$ 而 $5$ 很小，解法一四则运算三步就到底，考场上最省时间； 若题目改问 $S_{50}$ 或要通项，解法二（或解法一第四步的闭式）才划算。