和的下界拿每项上界去凑

坑在哪

题目要证

而前一问刚证出每项都满足 $a_{k}<1$。顺手就写：

因为 $a_{k}<1$，所以 $S_{n}<n$，……

这一步没有错，但它没用。 逐项放缩是保序的： 每项换成更大的量，得到的是和的上界；每项换成更小的量，得到的才是和的下界。 要证下界却只握着上界，再怎么写都是在把结论往反方向推。

更糟的是这里连「每项的下界」都没有——$a_{1}=0$，逐项往下放只会得到 $S_{n}>0$，离 $n-2$ 差着一整条 $n$。

出路

别逐项放，先把和本身算出来。 这类题的和往往能叠缩成一个恒等式： 把递推式改写成相邻两项之差，累加后中间项全部对消，例如

于是 $n-S_{n}=1+a_{n}^{2}$。到这一步才轮到上界出场：把 $a_{n}<1$ 代进去， 立刻得到 $n-S_{n}<2$，也就是 $S_{n}>n-2$。

注意这个次序：上界是用在算完的那个恒等式上，不是用在求和的过程里。 换个说法——要估的不是 $S_{n}$ 本身，而是它离 $n$ 还差多少， 那个「缺口」$\sum(1-a_{k})$ 才是上界该用的地方。

怎么自查

动手放缩前先问一句：

1. 我要证的是上界还是下界？
2. 我手上的那条界是上界还是下界？
3. 两者方向一致吗？不一致就停手——要么去找另一侧的界，要么改去算恒等式。