浙江 2009 · 数学 q11

冷启动：题面只给了公比，没给首项——这不是漏条件

要算的是

$$\frac{S_{4}}{a_{4}} .$$

$S_{4}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$ 与 $a_{4}$ 都正比于 $a_{1}$：整条数列一起放大 $\lambda$ 倍，分子分母同时放大 $\lambda$ 倍，这个比一动不动。所以首项根本不参与——题目只给 $q$，条件刚刚好。

两件要先说清的小事：

• 除以 $a_{4}$ 是合法的。等比数列要求 $a_{1}\neq 0$ 且 $q\neq 0$，于是每一项都不为 $0$，$a_{4}\neq 0$。
• $q=\dfrac12$ 念作「每往后一项减半」。倒过来念就是「每往前一项翻倍」——下面三条路里有两条直接吃这句话。

解法一：照公式来——$S_{4}$ 与 $a_{4}$ 都写成 $a_{1}$ 与 $q$，$a_{1}$ 自己会约掉

① 求和公式可用。 $q=\dfrac12\neq 1$，所以

$$S_{4}=\frac{a_{1}\left(1-q^{4}\right)}{1-q}.$$

（$q=1$ 时这条公式的分母是 $0$，得改写成 $S_{n}=na_{1}$。本题不涉及，但这一句得先看一眼。）

② 通项。 从 $a_{1}$ 走到 $a_{4}$ 只跨了 $3$ 步，每步乘一个 $q$：

$$a_{4}=a_{1}q^{3}.$$

指数是 $3$，不是 $4$——写成 $a_{1}q^{4}$ 算出来的其实是 $a_{5}$，最后的答案会整整差一倍。

③ 相除，$a_{1}$ 自己走掉。

$$\frac{S_{4}}{a_{4}} =\frac{a_{1}\left(1-q^{4}\right)/(1-q)}{a_{1}q^{3}} =\frac{1-q^{4}}{q^{3}\left(1-q\right)} .$$

到这一步为止，$a_{1}$ 一个字都没剩——这正是冷启动那句话的兑现。

④ 代 $q=\dfrac12$。

$$1-q^{4}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}, \qquad q^{3}\left(1-q\right)=\frac18\cdot\frac12=\frac{1}{16},$$ $$\frac{S_{4}}{a_{4}}=\frac{15/16}{1/16}=15 .$$

答案 $15$。 这条路与官方解析写的是同一串式子。

解法二：倒过来看——$a_{4},a_{3},a_{2},a_{1}$ 是公比 $2$ 的那一条，首项就是 $a_{4}$

既然分母是 $a_{4}$，就干脆把 $a_{4}$ 当成尺子，量一量其余各项有几格。

① 倒序之后公比取倒数。 把这四项倒过来写：$a_{4},a_{3},a_{2},a_{1}$。相邻两项之比是

$$\frac{a_{3}}{a_{4}}=\frac{1}{q}=2 ,$$

后面每一对都一样。所以倒过来仍是等比数列，首项 $a_{4}$、公比 $2$。

② 逐项数格子。

$$a_{3}=2a_{4},\qquad a_{2}=4a_{4},\qquad a_{1}=8a_{4},$$

而 $a_{4}$ 自己算 $1$ 格。

③ 相加。

$$S_{4}=\left(8+4+2+1\right)a_{4}=15\,a_{4} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{S_{4}}{a_{4}}=15 .$$

求和公式一次都没用上，心算就报得出来。

④ 为什么偏偏是 $15$。 $8+4+2+1=2^{4}-1$——四个格子拼起来，差一格就补满 $2^{4}=16$（教学图上那条红线画的就是这件事）。一般地，$q=\dfrac12$ 时

$$\frac{S_{n}}{a_{n}}=1+2+4+\cdots+2^{\,n-1}=2^{n}-1 .$$

题目把 $n$ 换成 $5$、$6$，答案就是 $31$、$63$，不必重算。

解法三：先说清这个比与首项无关，再取最方便的那个首项

冷启动里那句「$a_{1}$ 不参与」值得单独写成一步——先证它，再用它，取特殊值才不是蒙。

① 证明比与首项无关。 设 $\lambda\neq 0$，把首项换成 $\lambda a_{1}$、公比不变，则新数列的每一项都是原来的 $\lambda$ 倍：

$$a_{k}'=\lambda a_{1}q^{\,k-1}=\lambda a_{k} \quad\Longrightarrow\quad S_{4}'=\lambda S_{4},\quad a_{4}'=\lambda a_{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{S_{4}'}{a_{4}'}=\frac{S_{4}}{a_{4}} .$$

所以这个比只由 $q$ 决定，$a_{1}$ 取什么都行。

② 挑一个最省事的首项。 取 $a_{1}=8$，四项正好全是整数：

$$8,\quad 4,\quad 2,\quad 1 .$$

③ 直接数。 $S_{4}=8+4+2+1=15$，$a_{4}=1$，于是

$$\frac{S_{4}}{a_{4}}=\frac{15}{1}=15 .$$

④ 换个首项再验一遍。 取 $a_{1}=1$：四项是 $1,\dfrac12,\dfrac14,\dfrac18$，

$$S_{4}=\frac{8+4+2+1}{8}=\frac{15}{8},\qquad a_{4}=\frac18, \qquad \frac{S_{4}}{a_{4}}=\frac{15/8}{1/8}=15\ \checkmark$$

两次取值给出同一个数——① 的结论在这里得到了印证。答案 $15$。