等比数列的基本量

题型说明

• 常见问法：给出等比数列若干段和（如 $S_4,S_8$），求公比 $q$ 或首项。
• 主线：用求和公式或分段关系 $S_{2n}=S_n(1+q^{\,n})$ 列方程；解出偶次方程后按题面给的条件取舍公比符号——「各项为正」这类条件才扔得掉负根。

常见陷阱

• 取舍符号之前先找取舍的依据。 解出 $q^4=16$ 就顺手只留 $q=2$——而题面若没给正项条件，$q=-2$ 同样成立（取 $a_1=-\frac45$ 即得 $S_4=4$、$S_8=68$），漏掉它就少半个答案。
• 用求和公式那条路，$q=1$ 要先单独讨论（那时 $S_n=na_1$，闭式的分母为 $0$），且约掉 $1-q^{\,n}$ 之前要确认它不为零。