浙江 2010 · 数学 q03

冷启动：条件里只有两项，它其实在说公比

题目给的是 $8a_{2}+a_{5}=0$，问 $\dfrac{S_{5}}{S_{2}}$。一个条件、一个目标，中间隔着「首项 $a_{1}$ 和公比 $q$ 两个未知数」——看上去欠一个方程。

但目标是个比值。等比数列的每一项都带着同一个 $a_{1}$ 因子（$a_{n}=a_{1}q^{\,n-1}$），$S_{5}$ 与 $S_{2}$ 也各带一个，作比时它整块约掉了。所以这道题根本不需要知道 $a_{1}$，只需要 $q$。而条件里那两项 $a_{2}$、$a_{5}$ 相隔三格，相除正好只剩 $q^{3}$：一个条件，恰好定一个 $q$，不多不少。

顺带记住图上那件事：$q$ 是负的，所以各项正负交替，前 $n$ 项和也会在 $0$ 的两侧来回跳。四个选项里有两个正数、两个负数，答案是负的一点都不奇怪——$S_{2}$ 与 $S_{5}$ 恰好一个在下、一个在上。

解法一：原卷路线——先定公比，再套求和公式

怎么想到的。 条件与目标都是「首项 + 公比」能表出的东西，那就把两个基本量选定，把条件翻译成关于它们的方程。翻译完会发现 $a_{1}$ 自己消失了——这正是上面说的「作比约掉」。

① 从条件解出 $q$。 把 $a_{5}$ 往回退三格：$a_{5}=a_{2}q^{3}$。代入条件，

$$8a_{2}+a_{2}q^{3}=0\ \Longrightarrow\ a_{2}\bigl(8+q^{3}\bigr)=0 .$$

这里要说一句话再往下走：等比数列的项不能为零（否则从它往后每一项都是 $0$，而公比的定义要求相除有意义）。所以 $a_{2}\neq0$，只能是

$$q^{3}=-8\ \Longrightarrow\ q=-2 .$$

实数范围里一个数的立方根是唯一的，所以这里没有第二个解可捡，也不必像偶次方那样讨论正负。

② 套求和公式。 因为 $q=-2\neq1$，等比数列的前 $n$ 项和可以用

$$S_{n}=\frac{a_{1}\bigl(1-q^{\,n}\bigr)}{1-q} .$$

（$q=1$ 时这个式子分母为零、用不了，那一档要单写 $S_{n}=na_{1}$。本题 $q=-2$，不在那一档里。）作比时 $\dfrac{a_{1}}{1-q}$ 整块约掉：

$$\frac{S_{5}}{S_{2}}=\frac{1-q^{5}}{1-q^{2}} =\frac{1-(-2)^{5}}{1-(-2)^{2}} =\frac{1+32}{1-4}=\frac{33}{-3}=-11 .$$

答案 D。

解法二：取定一个首项直接加——比值与 $a_{1}$ 无关

怎么想到的。 上一条已经看出 $a_{1}$ 会约掉。既然它不影响答案，那就干脆给它定个最好算的值，把五项老老实实写出来相加——比记公式、约分式都稳，也不会在 $1-q^{5}$ 那里把符号搞错。

为什么这么做是合法的，说清楚一句：$S_{5}$ 与 $S_{2}$ 都是 $a_{1}$ 的一次齐次式（各项都含且只含一个 $a_{1}$ 因子），所以

$$\frac{S_{5}}{S_{2}}=\frac{a_{1}\bigl(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}\bigr)}{a_{1}\bigl(1+q\bigr)}$$

里的 $a_{1}$ 一定消掉，取 $a_{1}=1$ 与取 $a_{1}=7$ 算出来一样。注意这不是「特殊情况成立就当一般成立」——这里事先证明了结果与 $a_{1}$ 无关，取值只是为了算得快。

取 $a_{1}=1$、$q=-2$（$q$ 还是要按解法一那样先解出来），前五项是

$$1,\quad -2,\quad 4,\quad -8,\quad 16 ,$$

于是

$$S_{2}=1-2=-1,\qquad S_{5}=1-2+4-8+16=11,$$ $$\frac{S_{5}}{S_{2}}=\frac{11}{-1}=-11 .$$

答案 D。 图上画的就是这两串数：上半是五项，下半是五个和。

解法三：把条件读成「往后跳三项就乘 $-8$」——根本不用求和公式

怎么想到的。 $8a_{2}+a_{5}=0$ 说的是 $a_{5}=-8a_{2}$，也就是「从第 $2$ 项往后跳三格，值变成原来的 $-8$ 倍」。而等比数列里这件事对任何一项都成立：$a_{n+3}=q^{3}a_{n}=-8a_{n}$。有了这条「跳三格的规矩」，$S_{5}$ 里的后两项可以整块换成前两项：

$$a_{4}=-8a_{1},\qquad a_{5}=-8a_{2} \quad\Longrightarrow\quad a_{4}+a_{5}=-8\bigl(a_{1}+a_{2}\bigr)=-8S_{2} .$$

于是

$$S_{5}=\underbrace{(a_{1}+a_{2})}_{S_{2}}+a_{3}+\underbrace{(a_{4}+a_{5})}_{-8S_{2}} =a_{3}-7S_{2},$$

两边同除 $S_{2}$（除之前先确认它不是零：由 $q^{3}=-8$ 得 $q=-2$，故 $S_{2}=a_{1}(1+q)=-a_{1}\neq0$——题目问的就是 $\dfrac{S_{5}}{S_{2}}$，这一条本来就该先验）：

$$\frac{S_{5}}{S_{2}}=\frac{a_{3}}{S_{2}}-7 .$$

答案里的 $-7$ 完全由条件给出，一步求和公式都没用到。剩下的 $\dfrac{a_{3}}{S_{2}}$ 只是两项之比：

$$\frac{a_{3}}{S_{2}}=\frac{a_{1}q^{2}}{a_{1}(1+q)}=\frac{q^{2}}{1+q} \overset{q=-2}{=}\frac{4}{-1}=-4 ,$$

所以 $\dfrac{S_{5}}{S_{2}}=-4-7=-11$，答案 D。

这条路多给了什么。 第一，它绕开了求和公式的 $q=1$ 分档——通篇没有出现分母 $1-q$。第二，它把「$8$」这个数的意义点了出来：条件给的不是某两项的具体大小，而是隔三项的倍率。把题目改成「$8a_{3}+a_{6}=0$，求 $\dfrac{S_{6}}{S_{3}}$」，同一句话立刻给出 $S_{6}=S_{3}+(a_{4}+a_{5}+a_{6})=S_{3}-8S_{3}=-7S_{3}$，比值 $-7$，连 $q$ 都不用解。