等比中项

教材原文

与等差中项类似，如果在 $a$ 与 $b$ 中间插入一个数 $G$ ，使 $a, G, b$ 成等比数列，那么 $G$ 叫做 $a$ 与 $b$ 的等比中项（geometric mean）。此时，$G^2 = ab$。

公式

用法：把「成等比数列」变成一个方程

题目说「$x,\ y,\ z$ 成等比数列」，第一步永远是写下

三项里含参数时，这就是一个关于参数的方程——「成等比数列」这五个字的全部信息量，就在这一个等式里（外加下面那条非零条件）。

$G^2=ab$ 只是必要条件，别漏了非零

$0,0,0$ 满足 $G^2=ab$，但它不是等比数列：等比数列的每一项都不为零（否则公比无从定义）。所以严格的说法是

解出参数后要回头验一句三项都不为零；若某个解让某一项为零，那个解得舍掉（有时另一个解仍然可用）。

顺带

• $G^2=ab$ 说明 $ab>0$：等比数列里隔一项的两项同号。所以 $a$、$b$ 异号时根本不存在等比中项。
• 两个数的等比中项有两个：$G=\pm\sqrt{ab}$（$ab>0$ 时）。