浙江 2015 · 数学 q03

题面

3．（5分）（2015•浙江）已知$\{a_{\mathrm{n}} \}$是等差数列，公差d不为零，前n项和是$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} ,$，若 a₃，a₄，a₈成等比数列，则（ ） A．$a_{1} d > 0 , \ \mathrm{d} S_{4} > 0$ B．$a_{1} d < 0 , \ \mathrm{d} S_{4} < 0$ C．$a_{1} d > 0 , \ \mathrm{d} S_{4} < 0$ D．$a_{1} d < 0 , \ \mathrm{d} S_{4} > 0$

答案

B

解析

分析

由a₃，a₄，a₈成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断$a_{\mathrm{1}} d$和$\mathrm{{d} S_{4}}$的符号

解答

解：设等差数列$\{a_{\mathrm{n}} \}$的首项为a₁，则$\mathrm{a_{3} = a_{1} + 2 d , \ a_{4} = a_{1} + 3 d , \ a_{8} = a_{1} + 7 d}$

${\mathrm{a}}_{3} , \ {\mathrm{a}}_{4} , \ {\mathrm{a}}_{8}$成等比数列，得$( a_{1} + 3 d )^{2} = ( a_{1} + 2 d ) ( a_{1} + 7 d )$，整理得：$3 a_{1} \mathrm{d} = - 5 \mathrm{d}^{2}$

∵d≠0，∴$d = - \frac{3}{5} a_{1}$，

∴$a_{1} d = - \frac{3}{5} a_{1}^{2} < 0$，

$\mathrm{dS}_{4} = - \frac{3}{5} \mathrm{a}_{1} \left(4 \mathrm{a}_{1} + \frac{4 \times 3 \left(- \frac{3}{5} \mathrm{a}_{1}\right)}{2}\right) = - \frac{3}{5} \mathrm{a}_{1} \left(4 \mathrm{a}_{1} - \frac{1 8}{5} \mathrm{a}_{1}\right) = - \frac{6 \mathrm{a}_{1}^{2}}{2 5} < 0.$

故选：B