浙江 2015 · 数学 q03

冷启动：一个条件、两个待判的符号

题目给的是一个等式条件（$a_{3},a_{4},a_{8}$ 成等比）和一个不等条件（$d\neq0$）， 要判断的是两个乘积的正负：$a_{1}d$ 与 $dS_{4}$。

数列有两个自由参数 $a_{1}$ 与 $d$，一个等式只能把它们捆成一条关系，剩下一个自由度。 但这不要紧——待判的两个量都是 $a_{1},d$ 的二次齐次式： 把 $(a_{1},d)$ 同时乘以任一非零数 $\lambda$，$a_{1}d$ 与 $dS_{4}$ 都乘上 $\lambda^{2}>0$，符号不变。 所以剩下那个自由度对答案没有影响，两个符号一定是确定的，题目问得住。

先感受一下：取 $a_{1}=5$、$d=-3$（下面会算出这正好满足条件），数列是 $5,2,-1,-4,-7,-10,-13,-16,\ldots$，其中

$$a_{4}^{2}=(-4)^{2}=16=(-1)\times(-16)=a_{3}a_{8},$$

确实成等比（公比 $4$）。这一组里 $a_{1}d=-15<0$， $S_{4}=5+2-1-4=2$ 故 $dS_{4}=-6<0$——两个都是负的，指向 B。 下面两条路把这件事对一般情形证掉。

解法一：用 $(a_{1},d)$ 起手，解出 $d=-\frac{3}{5}a_{1}$ 再定两个符号

第一步：把三项写成 $a_{1}$ 与 $d$ 的式子

等差数列的通项是 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$，于是

$$a_{3}=a_{1}+2d,\qquad a_{4}=a_{1}+3d,\qquad a_{8}=a_{1}+7d .$$

第二步：把「成等比」写成方程

三个数 $x,y,z$ 成等比数列，等价于 $y$ 是 $x,z$ 的等比中项，即 $y^{2}=xz$（且三者都不为零）。所以

$$(a_{1}+3d)^{2}=(a_{1}+2d)(a_{1}+7d).$$

第三步：展开整理

左边 $=a_{1}^{2}+6a_{1}d+9d^{2}$，右边 $=a_{1}^{2}+9a_{1}d+14d^{2}$。相减：

$$0=3a_{1}d+5d^{2},\qquad\text{即}\qquad 3a_{1}d=-5d^{2}.$$

题给 $d\neq0$，两边同除以 $d$：

$$3a_{1}=-5d,\qquad\text{即}\qquad d=-\frac{3}{5}a_{1}.$$

顺便记下 $a_{1}\neq0$：若 $a_{1}=0$，则由 $3a_{1}=-5d$ 得 $d=0$，与题给的「公差不为零」冲突。

这与「三项成等比」的要求是一致的——等比数列的每一项都不能为零。把 $d=-\frac{3}{5}a_{1}$ 代回去：

$$a_{3}=a_{1}+2d=a_{1}-\frac{6}{5}a_{1}=-\frac{1}{5}a_{1},\quad a_{4}=a_{1}+3d=-\frac{4}{5}a_{1},\quad a_{8}=a_{1}+7d=-\frac{16}{5}a_{1},$$

三项都带因子 $a_{1}$，$a_{1}=0$ 会让它们一起变成 $0$。$a_{1}\neq0$ 时公比是 $\dfrac{a_{4}}{a_{3}}=\dfrac{-\frac{4}{5}a_{1}}{-\frac{1}{5}a_{1}}=4$，条件确实成立。

第四步：第一个乘积 $a_{1}d$

$$a_{1}d=a_{1}\cdot\left(-\frac{3}{5}a_{1}\right)=-\frac{3}{5}a_{1}^{2}.$$

由第三步 $a_{1}\neq0$，故 $a_{1}^{2}>0$，于是

$$a_{1}d=-\frac{3}{5}a_{1}^{2}<0 .$$

$a_{1}d<0$。 这已经排除了 A 与 C。

第五步：第二个乘积 $dS_{4}$

前 $4$ 项和 $S_{4}=4a_{1}+\dfrac{4\times3}{2}d=4a_{1}+6d$。把 $d=-\frac{3}{5}a_{1}$ 代进去：

$$S_{4}=4a_{1}+6\left(-\frac{3}{5}a_{1}\right)=4a_{1}-\frac{18}{5}a_{1}=\frac{2}{5}a_{1}.$$

于是

$$dS_{4}=\left(-\frac{3}{5}a_{1}\right)\cdot\frac{2}{5}a_{1}=-\frac{6}{25}a_{1}^{2}<0 .$$

第六步：对选项

$a_{1}d<0$ 且 $dS_{4}<0$，正是选项 B。

答案：B。

解法二：把设元中心挪到 $a_{4}$，一切化成 $d$ 的倍数

上一条路最后落在 $a_{1}^{2}$ 上，中途要先把 $d$ 用 $a_{1}$ 表示。 换个基准可以反过来：让每个量都是 $d$ 的倍数，符号直接由 $d^{2}>0$ 读出。

第一步：以等比中项那一项为基准

$a_{3},a_{4},a_{8}$ 中，$a_{4}$ 是等比中项。等差数列里任一项都能以 $a_{4}$ 为基准表示： $a_{4+t}=a_{4}+td$。数清下标差，$a_{3}$ 是 $t=-1$、$a_{8}$ 是 $t=+4$：

$$a_{3}=a_{4}-d,\qquad a_{8}=a_{4}+4d .$$

第二步：写等比中项条件，左右的平方项自己对消

$$a_{4}^{2}=a_{3}a_{8}=(a_{4}-d)(a_{4}+4d)=a_{4}^{2}+3a_{4}d-4d^{2}.$$

两边的 $a_{4}^{2}$ 直接消去（这就是把基准放在中项上的好处），剩下

$$3a_{4}d=4d^{2}.$$

题给 $d\neq0$，约掉一个 $d$：

$$a_{4}=\frac{4}{3}d .$$

第三步：把要用的量全部写成 $d$ 的倍数

$$a_{1}=a_{4}-3d=\frac{4}{3}d-3d=-\frac{5}{3}d .$$

顺带验一下三项都不为零（等比数列不许出现 $0$）： $a_{3}=a_{4}-d=\frac{1}{3}d$，$a_{4}=\frac{4}{3}d$，$a_{8}=a_{4}+4d=\frac{16}{3}d$， $d\neq0$ 时三个都不为零，公比是 $\dfrac{a_{4}}{a_{3}}=4$，条件确实成立。

第四步：第一个乘积

$$a_{1}d=-\frac{5}{3}d\cdot d=-\frac{5}{3}d^{2}.$$

$d\neq0$ 故 $d^{2}>0$，于是 $a_{1}d<0$。这一步不需要知道 $a_{1}$ 的正负。

第五步：第二个乘积——$S_{4}$ 用首末配对

前 $4$ 项和用「首末配对」的写法：$S_{4}=\dfrac{4(a_{1}+a_{4})}{2}=2(a_{1}+a_{4})$。 两端都已经是 $d$ 的倍数：

$$S_{4}=2\left(-\frac{5}{3}d+\frac{4}{3}d\right)=2\cdot\left(-\frac{1}{3}d\right)=-\frac{2}{3}d .$$

于是

$$dS_{4}=-\frac{2}{3}d^{2}<0 .$$

第六步：对选项

两个乘积都小于 $0$，选 B。

答案：B。

（与解法一对得上：由 $a_{1}=-\frac{5}{3}d$ 反解即 $d=-\frac{3}{5}a_{1}$； $S_{4}=-\frac{2}{3}d=\frac{2}{5}a_{1}$；$dS_{4}=-\frac{2}{3}d^{2}=-\frac{6}{25}a_{1}^{2}$。）

回头看：两条路各自强在哪儿

共同的骨架只有三根：把「成等比」翻译成 $y^{2}=xz$；用 $d\neq0$ 约掉一个 $d$； 最后把待判的乘积写成「某个负有理数 $\times$ 一个平方」。

解法一用的是默认基本量 $(a_{1},d)$，好处是不用动脑筋、通用； 代价是解出的关系 $d=-\frac{3}{5}a_{1}$ 还要往回代两次，$S_{4}$ 那步的分数运算最容易出错。

解法二把基准挪到 $a_{4}$，代价只是数清两个下标差，收益是 $a_{4}^{2}$ 在方程两边自动对消、并且最终一切都是 $d$ 的倍数—— $d^{2}>0$ 是题目直接给的（$d\neq0$），比 $a_{1}^{2}>0$ 少一步论证。 在解法一里，$a_{1}\neq0$ 是从 $3a_{1}=-5d$ 与 $d\neq0$ 推出来的，漏了这一步， $a_{1}d=-\frac{3}{5}a_{1}^{2}$ 就只能说 $\le0$，不足以选 B。

一句话记住这道题：「成等比」写成中项平方等于两端之积， $d\neq0$ 约掉一次，剩下的比例关系把两个乘积都变成负数乘平方。