浙江 2021 · 数学 q09

从等比条件到等式

三个数成等比数列，等价于「中间项的平方等于首末两项之积」（等比中项）：

$$f(s-t)\cdot f(s+t) = [f(s)]^2$$

把 $f(x) = ax^2 + b$ 代入：

$$\left[a(s-t)^2 + b\right]\left[a(s+t)^2 + b\right] = (as^2 + b)^2$$

解法一：等比中项展开因式分解

怎么想到的。 左边两个括号形如 $(M - N)(M + N)$——展开 $(s-t)^2$ 与 $(s+t)^2$ 后，把公共部分打包成 $M = as^2 + at^2 + b$，差异部分恰好是 $N = 2ast$。认出平方差结构，就不用硬乘四项。

① 用平方差收起左边。

$$(as^2 + at^2 + b)^2 - (2ast)^2 = (as^2 + b)^2$$

② 移项，再对「两个平方之差」做一次平方差。 把右边移过来：

$$(as^2 + at^2 + b)^2 - (as^2 + b)^2 - 4a^2s^2t^2 = 0$$

前两项又是 $P^2 - Q^2 = (P-Q)(P+Q)$，其中 $P - Q = at^2$，$P + Q = 2as^2 + at^2 + 2b$：

$$at^2(2as^2 + at^2 + 2b) - 4a^2s^2t^2 = 0$$

③ 提公因式 $at^2$。 注意 $ab > 0$ 保证 $a \neq 0$：

$$at^2\left[(2as^2 + at^2 + 2b) - 4as^2\right] = 0$$ $$at^2(-2as^2 + at^2 + 2b) = 0$$

④ 因式分解 → 两支轨迹。 乘积为零，至少一个因子为零：

• $t = 0$：这是 $s$ 轴，一条直线。
• $-2as^2 + at^2 + 2b = 0$：整理成标准形式。由 $ab > 0$ 知 $b/a > 0$，于是

$$\frac{s^2}{\dfrac{b}{a}} - \frac{t^2}{\dfrac{2b}{a}} = 1$$

这是 $\dfrac{s^2}{\alpha^2} - \dfrac{t^2}{\beta^2} = 1$ 的形式（$\alpha^2 = b/a > 0$，$\beta^2 = 2b/a > 0$），即一条双曲线。

两支合起来：点 $(s,t)$ 的轨迹是直线和双曲线，选 C。

四个选项逐项判：A 的圆与 B 的椭圆都要求 $s^2$、$t^2$ 的系数同号，D 的抛物线只剩一个平方项，都不合 $-2as^2 + at^2 + 2b = 0$ 的异号结构——只有 C 的「直线和双曲线」成立。

怎么认出是双曲线

因式分解给出的第二支方程里，$s^2$ 与 $t^2$ 的系数异号（$-2a$ 与 $a$）——两个平方项一正一负，正是 $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ 这一族的标志。若系数同号则闭合（不是开放曲线），若只剩一个二次项则退化成另一类。本题的结构（平方差套平方差）天然产出异号平方项，所以答案只能是双曲线。