动点轨迹的方程与性质

题型说明

• 常见问法：「动点满足〈到定点的距离与到定直线的距离之某种关系〉，曲线为 $C$，则（　）」——四个独立命题，选对全部正确的（多选）。
• 关键动作：先建方程。设动点 $P(x,y)$，把每一段距离写成坐标式，用题面给的范围（如 $x>-2$）去掉绝对值，化简成一条只含 $x,y$ 的方程；题面给的「曲线过某点」正是定参数的那句话。
• 建完方程后，四个选项各归各的判法：过不过某点 → 代回去验；纵坐标的界 → 从方程解出 $y^2$ 再放缩；最大值是多少 → 要么真求，要么举一个反例否掉。

常见陷阱

• 距离条件是「积为定值」还是「比为定值」，两者给出的曲线完全不同——比为定值才是课本里那类有标准方程的曲线，积为定值的没有现成方程可套，只能老实化简。
• 去绝对值不看范围：$|x-a|$ 化成 $x-a$ 要有 $x>a$ 撑着，而那句话通常就藏在题面里。
• 由 $y^2$ 的式子开方时丢掉绝对值（详见易错点「开方丢绝对值」）。
• 选项给的最值「刚好凑得上」时当成真最值——它多半是某个特殊位置（如动点在定点正上方）的值，不是最大的那个。