浙江 2010 · 数学 q13

冷启动：题面给的不是一条抛物线，是一族

读题时先把「已知什么」数清楚：

• 抛物线写成 $y^{2}=2px\ (p>0)$，$p$ 没给——所以这不是一条确定的曲线，是一族曲线；
• 点 $A(0,2)$ 是死的，落在 $y$ 轴上；
• 焦点 $F\left(\dfrac{p}{2},0\right)$ 随 $p$ 一起动，于是线段 $FA$ 的中点 $B$ 也随 $p$ 一起动。

「$B$ 在抛物线上」这一句就是用来把 $p$ 钉死的：$p$ 一变，$B$ 变、抛物线也变，两者一般对不上；恰好对上的那个 $p$ 只有一个。先解 $p$，再答所问——这是本题唯一的骨架，三条解法的区别只在「用什么把 $p$ 解出来」。

还有一句话必须先摆清楚，它是后面每一步的地基：

$$y^{2}=2px\ (p>0) \quad\Longrightarrow\quad F\left(\frac{p}{2},0\right),\qquad \text{准线}\ x=-\frac{p}{2} .$$

焦点和准线各占 $\dfrac{p}{2}$，合起来才是 $p$。 方程里 $x$ 前面的系数是 $2p$，不是 $p$；准线是 $x=-\dfrac{p}{2}$，不是 $x=-p$（易错点「抛物线的p与2p记混」）。

解法一：原卷路线——写出焦点，中点公式定出 $B$，代回方程解出 $p$

第一步：写出 $B$ 的坐标。 焦点 $F\left(\dfrac{p}{2},0\right)$，$A(0,2)$，中点取两端坐标的平均：

$$B=\left(\frac{\frac{p}{2}+0}{2},\ \frac{0+2}{2}\right)=\left(\frac{p}{4},\,1\right) .$$

注意 $B$ 的纵坐标 $1$ 与 $p$ 无关（$A$、$F$ 的纵坐标 $2$ 与 $0$ 都是死数），横坐标才带着 $p$ 走。

第二步：代回方程，解出 $p$。 $B$ 在抛物线上，把 $\left(\dfrac{p}{4},1\right)$ 代进 $y^{2}=2px$：

$$1^{2}=2p\cdot\frac{p}{4}=\frac{p^{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad p^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad p=\sqrt{2}\ \ (p>0\ \text{已排除负根}) .$$

第三步：量距离。 准线是 $x=-\dfrac{p}{2}$，$B$ 在它右边，所以

$$d=x_{B}-\left(-\frac{p}{2}\right)=\frac{p}{4}+\frac{p}{2}=\frac{3p}{4} =\frac{3\sqrt{2}}{4}=\frac{3}{4}\sqrt{2} .$$

这一步最容易漏掉半个 $p$。 $x_{B}=\dfrac{p}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ 是 $B$ 到 $y$ 轴的距离，而题目问的是到准线的距离——准线还在 $y$ 轴左边 $\dfrac{p}{2}$ 处。只写 $x_{B}$ 会得到 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，恰好是正确答案的三分之一（易错点「到准线的距离当成横坐标」）。

自查一招：用定义验。 由抛物线的定义，$B$ 到准线的距离应当等于 $|BF|$。这里

$$|BF|=\sqrt{\left(\frac{p}{4}-\frac{p}{2}\right)^{2}+1^{2}} =\sqrt{\frac{p^{2}}{16}+1} =\sqrt{\frac{2}{16}+1}=\sqrt{\frac{9}{8}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4} ,$$

与上面算出的 $d$ 逐位相同。两条路撞上同一个数，说明 $p$ 与 $d$ 都没算错。

解法二：不必写出 $B$ 的坐标——三条到准线的距离里，中间那条是两边的平均

怎么想到的。 图上那三支水平箭头摆在一起，形状太规整了：$A$、$B$、$F$ 三点里 $B$ 是中点，而三条虚线都垂直于同一条竖直的准线。垂直于同一条直线的三条线段，中间那条正是梯形的中位线——长度必然是两边的平均。这一条只用到「$B$ 是中点」，完全不需要 $B$ 的坐标。

第一步：两头那两段。 记 $A$、$B$、$F$ 到准线 $x=-\dfrac{p}{2}$ 的距离为 $d_{A}$、$d_{B}$、$d_{F}$。$A$ 与 $F$ 的横坐标是 $0$ 与 $\dfrac{p}{2}$，都在准线右边：

$$d_{A}=0+\frac{p}{2}=\frac{p}{2}, \qquad d_{F}=\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=p .$$

第二步：中间那段是平均。 从 $A$、$B$、$F$ 向准线作垂线，垂足记作 $A'$、$B'$、$F'$。$AA'\parallel BB'\parallel FF'$（都垂直于准线），$B$ 是 $AF$ 的中点，所以 $BB'$ 是梯形 $AA'F'F$ 的中位线：

$$d_{B}=\frac{d_{A}+d_{F}}{2}=\frac{\frac{p}{2}+p}{2}=\frac{3p}{4} .$$

（$A$ 与 $F$ 同在准线右侧，这一点第一步已经验过；否则「平均」要带符号。）

第三步：另一条腿——定义 + 中点。 到这里还没用上「$B$ 在抛物线上」。用它，配上抛物线的定义：

$$d_{B}=|BF| .$$

而 $B$ 是 $AF$ 的中点，所以 $|BF|=\dfrac{1}{2}|AF|$，其中

$$|AF|=\sqrt{\left(\frac{p}{2}-0\right)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{\frac{p^{2}}{4}+4} .$$

第四步：两式联立。

$$\frac{3p}{4}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{p^{2}}{4}+4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{9p^{2}}{16}=\frac{1}{4}\left(\frac{p^{2}}{4}+4\right)=\frac{p^{2}}{16}+1 ,$$ $$\frac{8p^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad p^{2}=2,\qquad p=\sqrt{2} .$$

（两边都是正数，平方是可逆的。）回到第二步的式子：

$$d_{B}=\frac{3p}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{4} .$$

这条路把两个条件分得很干净。 「$B$ 是中点」给出 $d_{B}=\dfrac{3p}{4}$；「$B$ 在抛物线上」给出 $d_{B}=\dfrac{1}{2}|AF|$。一个条件一条式子，两式联立定 $p$——谁给了什么一目了然。

解法三：把条件搬到 $A$ 头上——$B$ 在抛物线上等价于 $A$ 在另一条抛物线上

怎么想到的。 麻烦在于 $B$ 是个动点、坐标里带着未知的 $p$，而 $A$ 是已知的死点。既然 $B$ 是 $FA$ 的中点，那么 $A$ 就是 $B$ 关于 $F$ 以比 $2$ 放大的像：

$$A=2B-F .$$

把「$B$ 在抛物线上」整条翻译过去，就变成「$A$ 在某条确定的曲线上」——而 $A$ 的坐标是知道的，代进去 $p$ 一步就出来。

第一步：写出像曲线的方程。 设 $B=(x,y)$ 在 $y^{2}=2px$ 上，$A=(X,Y)$。由 $A=2B-F$：

$$X=2x-\frac{p}{2},\qquad Y=2y \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{X}{2}+\frac{p}{4},\qquad y=\frac{Y}{2} .$$

代进 $y^{2}=2px$：

$$\frac{Y^{2}}{4}=2p\left(\frac{X}{2}+\frac{p}{4}\right)=pX+\frac{p^{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad Y^{2}=4pX+2p^{2}=4p\left(X+\frac{p}{2}\right) .$$

第二步：把已知点代进去。 $A(0,2)$ 满足这条方程：

$$2^{2}=4p\cdot 0+2p^{2} \quad\Longrightarrow\quad 2p^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad p^{2}=2,\qquad p=\sqrt{2} .$$

一步到位，全程没写过 $B$ 的坐标。

第三步：答所问。 由抛物线的定义与「$B$ 是中点」：

$$d=|BF|=\frac{1}{2}|AF|=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{p^{2}}{4}+4} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+4} =\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}} =\frac{3\sqrt{2}}{4} .$$

像曲线本身也值得看一眼。 $Y^{2}=4p\left(X+\dfrac{p}{2}\right)$ 仍是一条开口向右的抛物线，$2p'=4p$ 即 $p'=2p$（放大了一倍，合理），而它的顶点在 $\left(-\dfrac{p}{2},0\right)$——正好落在原抛物线的准线上。于是原题那句「中点在抛物线上」，换个视角就是「$A$ 落在这条以准线为顶点的放大版抛物线上」。

答案

$$\boxed{\dfrac{3}{4}\sqrt{2}}$$

三条路都落在同一个数上：$\dfrac{3}{4}\sqrt{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\approx 1.06$。