三角形的中位线定理

教材原文

例 1 如图 6.4-1, DE 是 $\triangle ABC$ 的中位线，用向量方法证明： $DE \parallel BC$ , $DE = \frac{1}{2} BC$ .

证明：如图 6.4-2，因为 DE 是 $\triangle ABC$ 的中位线，所以

$\overrightarrow {A D} = \frac {1}{2} \overrightarrow {A B}, \overrightarrow {A E} = \frac {1}{2} \overrightarrow {A C}.$

所以 $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$

要点

设 $D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，则

对应的是「它不经过的那个顶点所对的边」——这是用错这条定理的唯一入口。$DE$ 连的是 $AB$、$AC$ 上的中点，$A$ 是那个「被绕开」的顶点，所以 $DE$ 配的是 $A$ 的对边 $BC$，不是 $AB$ 或 $AC$。写之前先问一句：这条中位线绕开了哪个顶点？

反过来用（高考里更常见的方向）

已知的往往是中位线的长，要的是第三边：

于是「两个中点」这三个字就是一条可以直接换算的长度关系。典型的触发条件：

• 题目说「$M$ 是 $PF$ 的中点」，而图里另有一个中点（比如原点 $O$ 是两焦点连线 $FF_{1}$ 的中点）——连 $OM$，它就是 $\triangle PFF_{1}$ 的中位线，$|PF_{1}|=2|OM|$。
• 题目给的是「中点到某处的距离」（常写成「中点在某个圆上」），那就是中位线的长度已知。

向量写法（教材那条证明的骨架）

一步得到平行（共线）与长度两件事——这也是「用向量证平行与长度」的样板：共线 $\Leftrightarrow$ 一个向量是另一个的倍数，倍数的绝对值就是长度比。