浙江 2019 · 数学 q15

题面

15. 已知椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ 的左焦点为 $F$，点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴的上方，若线段 $PF$ 的中点在以原点 $O$ 为圆心，$\left|OF\right|$ 为半径的圆上，则直线 $PF$ 的斜率是 ____.

答案

$\sqrt{15}$

解析

分析

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

方法1：由题意可知 $|OF|=|OM|=c=2$ ，

由中位线定理可得 $\left|PF_{1}\right|=2\mid OM\mid=4$ ，设 $P(x,y)$ 可得 $(x-2)^{2}+y^{2}=16$ ，

联立方程 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$

可解得 $x = -\frac{3}{2}, x = \frac{21}{2}$ （舍），点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，

求得 $P\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{15}}{2}\right)$ ，所以 $k_{PF}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{15}$

方法 2：焦半径公式应用

解析 1：由题意可知 $\left|OF\right|=\left|OM\right|=c=2$ ，

由中位线定理可得 $\left|PF_{1}\right|=2\mid OM\mid=4$ ，即 $a-ex_{p}=4\Rightarrow x_{p}=-\frac{3}{2}$

求得 $P\left(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)$，所以 $k_{PF} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{15}$.

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.