浙江 2019 · 数学 q15

冷启动：先把「中点」这两个字翻译成长度

题面给的东西看着挺绕：椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$，左焦点 $F$，点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴上方，线段 $PF$ 的中点在以原点 $O$ 为圆心、$\lvert OF\rvert$ 为半径的圆上，求直线 $PF$ 的斜率。

先把白给的量摆出来——这一步不做，后面全是瞎猜：

所以 $F(-2,0)$，右焦点记作 $F_{1}(2,0)$，那个圆是 $\odot O:\ x^{2}+y^{2}=4$（半径 $\lvert OF\rvert=c=2$）。

接下来是这道题唯一的关口。把中点记作 $M$，题面那句长条件其实只说了一件事：

到这里请停下来数中点：

• $M$ 是 $PF$ 的中点——题面明说的；
• $O$ 是 $FF_{1}$ 的中点——题面没说，但椭圆的两个焦点天生对称于原点。

两个中点，连起来的那条线段就是中位线。$M$ 在边 $FP$ 上、$O$ 在边 $FF_{1}$ 上，它们同属 $\triangle PFF_{1}$，于是 $OM$ 是 $\triangle PFF_{1}$ 的中位线：

这一步定生死：所谓「中点在某个圆上」，从来不是位置描述，而是在偷偷给一条焦半径的长度。再叠上椭圆定义：

两条焦半径全钉死了：$\lvert PF\rvert=2$、$\lvert PF_{1}\rvert=4$。剩下的只是「怎么把长度换成斜率」——下面两条路都只需三行。

解法一：中位线定两条焦半径，再由焦半径反求 $x_{P}$，坐标算斜率

已经有 $\lvert PF\rvert=2$，而 $F$ 是左焦点，左焦半径与横坐标的关系是

（人教 A 版正文没有列这条公式，当场推一遍只要两步：$\lvert PF\rvert^{2}=(x_{P}+c)^{2}+y_{P}^{2}$，把 $y_{P}^{2}=b^{2}\!\left(1-\frac{x_{P}^{2}}{a^{2}}\right)$ 代进去配方，得 $\left(a+\frac{c}{a}x_{P}\right)^{2}$。心里没底就代端点验：$x_{P}=-a$ 时它给 $a-c$，正是左顶点到左焦点的距离 ✓。）

代进去：

再回椭圆方程取纵坐标，题面那句「在 $x$ 轴上方」在这里兑现（只留正根）：

斜率是两点间的差商，分母不要算错——$F$ 的横坐标是 $-2$：

不想碰焦半径公式的版本（官方解析走的就是这条）：把 $\lvert PF_{1}\rvert=4$ 直接写成方程——这里的 $F_{1}$ 是右焦点 $(2,0)$（开头就是这么记的；官方解析用的也是这个记法，所以它那条圆方程的圆心是 $(2,0)$ 而不是 $(-2,0)$）。设 $P(x,y)$，则

$\frac{21}{2}>a=3$，超出了椭圆的横坐标范围 $[-3,3]$，这就是「舍」的理由——别只写个「舍」了事。往下与上面一样。

这条路的代价是解一个二次方程；用焦半径则是一次方程。知道 $\lvert PF\rvert$ 与知道 $x_{P}$ 是一回事，这是圆锥曲线里最值钱的换算之一。

解法二：焦点三角形 $2$-$4$-$4$：余弦定理算出 $\cos\angle PFF_{1}$，正切就是斜率

回头看 $\triangle PFF_{1}$，三条边现在全是已知数：

而待求的斜率就是这个三角形在 $F$ 处那个角的正切：$P$ 在 $x$ 轴上方、$F_{1}$ 在 $F$ 的正右方，所以射线 $FF_{1}$ 就是 $x$ 轴正方向，直线 $PF$ 的倾斜角正好是 $\angle PFF_{1}$。于是对 $\angle PFF_{1}$ 用余弦定理：

倾斜角在 $(0^{\circ},180^{\circ})$ 内，余弦为正说明它是锐角，正弦取正：

一条更快的读法：注意 $\lvert PF_{1}\rvert=\lvert FF_{1}\rvert=4$，$\triangle PFF_{1}$ 是以 $F_{1}$ 为顶点的等腰三角形，那么 $F_{1}$ 到底边 $PF$ 的中线就是高——而 $PF$ 的中点正是 $M$，所以 $F_{1}M\perp PF$。在直角三角形 $FMF_{1}$ 里直接读：

（$\lvert FM\rvert=\frac{1}{2}\lvert PF\rvert=1$。直角三角形里 $\cos=\frac{1}{4}$ 就是「邻边 $1$、斜边 $4$」，对边 $\sqrt{15}$，正切 $\sqrt{15}$ 一眼可得。）

这条路一个坐标都没设，也没开根号解方程——长度齐了就别再回到坐标系里去绕。

两条路的分工

问的是斜率而已，解法二更短；但只要题目还追问「$P$ 的坐标」「$PF$ 的方程」「$\triangle PFF_{1}$ 的面积用坐标算」，解法一的中间产物就直接接得上。

避坑清单