浙江 2015 · 数学 q13

转着看 · 换个机位再判断

等腰四面体 $A\text{-}BCD$（$AB=AC=BD=CD=3$、$AD=BC=2$，对棱两两相等）· 异面直线 $AN$ 与 $CM$ 都等于 $2\sqrt{2}$，把 $AN$ 沿中位线 $ME$ 搬到 $M$ 上 ⟹ 夹角落在 $\angle EMC$ 里，$\cos\theta=\frac{ME^{2}+MC^{2}-EC^{2}}{2\,ME\cdot MC}=\frac{7}{8}$

机位1题图角度2正对 EMC（$\theta$ 在这儿）3沿 EMC（$\theta$ 在这儿） 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：先把这个三棱锥的形状看清楚

四条棱是 $3$（$AB=AC=BD=CD$），两条棱是 $2$（$AD=BC$）。这两条长为 $2$ 的棱不共面， 它们是一对「对棱」；而四条长为 $3$ 的棱把它们连起来。

这个形状有一个非常好用的对称性：

• $\triangle ABC$ 中 $AB=AC=3$、$BC=2$，$N$ 是 $BC$ 的中点，于是 $AN\perp BC$， $AN=\sqrt{3^{2}-1^{2}}=2\sqrt{2}$；
• $\triangle DBC$ 一模一样（$DB=DC=3$、$BC=2$），所以 $DN\perp BC$，$DN=2\sqrt{2}$；
• 换到另一对棱上：$\triangle ACD$ 中 $CA=CD=3$、$AD=2$，$M$ 是 $AD$ 的中点， 于是 $CM\perp AD$，$CM=2\sqrt{2}$。

四条中线（$AN$、$DN$、$CM$、$BM$）一样长，都是 $2\sqrt{2}$——这不是巧合， 是「两组对棱各自相等」逼出来的。

要求的 $AN$ 与 $CM$ 是异面的：$AN$ 在面 $ABC$ 里，$CM$ 与它既不相交也不平行。 按定义，它们所成的角是「把其中一条平移到与另一条相交之后」的那个夹角， 而且只取 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 里的那一个——这句话到最后一步还要用一次。

解法一：取 $ND$ 的中点，把 $AN$ 平移到 $M$ 上

第一步：找一条与 $AN$ 平行、又经过 $M$ 的线段

$CM$ 已经过 $M$，所以只要把 $AN$ 搬到 $M$ 上就行。图里已经有两个中点了：$M$ 是 $AD$ 的中点。 再造一个——取 $ND$ 的中点 $E$。

在 $\triangle AND$ 里，$M$、$E$ 分别是 $AD$、$DN$ 的中点，于是 $ME$ 是它的中位线：

$$ME\parallel AN ,\qquad ME=\frac{1}{2}AN=\sqrt{2} .$$

这一步就是全题的钥匙。要平移一条线，最省事的办法往往不是”平行移过去”，而是”再找一个中点”—— 中位线自带平行，还顺手把长度折半。

于是所求的角就是 $\angle EMC$（或它的补角，最后再判）。

第二步：把 $\triangle EMC$ 的三边都算出来

• $ME=\sqrt{2}$（上一步）；
• $MC=2\sqrt{2}$（冷启动里已算）；
• $EC$：$E$ 是 $ND$ 的中点，所以 $EN=\dfrac{1}{2}DN=\sqrt{2}$。 又 $DN\perp BC$，而 $EN$ 在 $DN$ 上，故 $EN\perp NC$，$NC=1$，于是

$$EC=\sqrt{EN^{2}+NC^{2}}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3} .$$

第三步：余弦定理

$$\cos\angle EMC=\frac{ME^{2}+MC^{2}-EC^{2}}{2\,ME\cdot MC} =\frac{2+8-3}{2\times\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}=\frac{7}{8} .$$

$\dfrac{7}{8}>0$，说明 $\angle EMC$ 本来就是锐角，不必换成补角。答案是 $\dfrac{7}{8}$。

解法二：沿两条棱建系，两个方向向量直接点乘

第一步：把坐标系架在对称性上

这个立体的两条对棱 $AD$ 与 $BC$ 互相垂直（$AD\perp$ 平面 $BMC$ 一类的说法要证， 但坐标一建出来就自动成立，见下），而且 $MN$ 同时垂直于它们两条。所以：

取 $N$ 为原点，$BC$ 的方向为 $x$ 轴，$AD$ 的方向为 $y$ 轴，$NM$ 的方向为 $z$ 轴。

$BC=2$ 给出 $B(-1,0,0)$、$C(1,0,0)$；$AD=2$ 给出 $A$、$D$ 的 $y$ 坐标是 $\mp 1$； 两点的高设为 $h$，即

$$A(0,-1,h),\qquad D(0,1,h),\qquad M(0,0,h) .$$

$h$ 由一条棱定出来：

$$AB=3\ \Longrightarrow\ 1+1+h^{2}=9\ \Longrightarrow\ h=\sqrt{7} .$$

再回验其余三条：$AC=\sqrt{1+1+7}=3$，$BD=\sqrt{1+1+7}=3$，$CD=\sqrt{1+1+7}=3$， $AD=2$，$BC=2$——六条棱全对上，说明这个坐标模型就是题给的那个立体，没有多设也没有漏设。

第二步：两个方向向量

$$\overrightarrow{AN}=N-A=(0,1,-\sqrt{7}),\qquad \overrightarrow{CM}=M-C=(-1,0,\sqrt{7}) .$$ $$\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{CM}=0\times(-1)+1\times 0+(-\sqrt{7})\times\sqrt{7}=-7 ,$$ $$\bigl|\overrightarrow{AN}\bigr|=\sqrt{0+1+7}=2\sqrt{2},\qquad \bigl|\overrightarrow{CM}\bigr|=\sqrt{1+0+7}=2\sqrt{2} .$$

第三步：取绝对值

点乘是 $-7$，说明这两个方向向量的夹角是钝角。但异面直线所成的角只取 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，所以要取绝对值：

$$\cos\theta=\frac{\bigl|\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{CM}\bigr|} {\bigl|\overrightarrow{AN}\bigr|\bigl|\overrightarrow{CM}\bigr|} =\frac{7}{2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}=\frac{7}{8} .$$

漏掉这个绝对值，答案就成了 $-\dfrac{7}{8}$——一个负的”夹角余弦”，本身就说明取向反了。 向量是有方向的（$\overrightarrow{AN}$ 与 $\overrightarrow{NA}$ 差一个负号）， 可”两条直线的夹角”没有方向，所以最后一步必须把符号抹掉。

两条路怎么选

分水岭是你愿不愿意先动脑找那条平移线。

解法一快，但快在”想到”上：$E$ 取 $ND$ 的中点这一步没有公式可循，靠的是 「图里已经有中点，那就再造一个凑中位线」这个念头。想到了两行就完；想不到就卡死。 它的另一半代价是必须自己判锐钝：余弦算出来是正的才算完，若为负还得换成补角。

解法二慢，但慢得可预期：建系、写坐标、回验棱长、点乘、取模、加绝对值，六步一步不落。 它对这道题格外合适，因为两条对棱互相垂直，坐标架上去几乎没有根号； 换成一般的三棱锥（棱长七零八落），这条路照样能走，只是坐标里会带上一堆无理数。

真正值得记住的是那个绝对值：向量有方向，直线没有。 建系法把几何问题变成算术的同时，也偷偷多给了一样东西（取向），最后一步必须把它还回去。