浙江 2015 · 数学 q13

题面

13．（4 分）（2015•浙江）如图，三棱锥 A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是

答案

${\frac{7}{8}} .$

解析

分析

连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是$\angle \mathrm{E M C}$通

过解三角形，求解即可

解答

解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的

角就是∠EMC，

$\because \mathrm{AN} = 2 \sqrt{2},$

$\therefore \mathrm{ME} = \sqrt{2} = \mathrm{EN}, \mathrm{MC} = 2 \sqrt{2},$

又$\therefore \mathrm{E N \bot N C} , \ \therefore \mathrm{E C} = \sqrt{\mathrm{E N}^{2} + \mathrm{N C}^{2}} = \sqrt{3} ,$

$\therefore \cos \angle E M C = \frac{E M^{2} + M C^{2} - E C^{2}}{2 E M \cdot M C} = \frac{2 + 8 - 3}{2 \times \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2}} = \frac{7}{8}.$

故答案为：${\frac{7}{8}} .$