6.4 平面向量的应用

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6.4 平面向量的应用

前面我们学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算。本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用。同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题。

6.4.1 平面几何中的向量方法

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. 下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用.

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有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标.

例 1 如图 6.4-1, DE 是 △ABC\triangle ABC 的中位线，用向量方法证明： DE∥BCDE \parallel BC , DE=12BCDE = \frac{1}{2} BC .

分析：初中证明过这个结论时要加辅助线，有一定难度. 如果用向量方法证明这个结论，可以取 {AB→,AC→}\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\} 为基底，用 AB→,AC→\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} 表示 DE→,BC→\overrightarrow{DE}, \overrightarrow{BC}，证明 DE→=12BC→\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} 即可.

图 6.4-1

证明：如图 6.4-2，因为 DE 是 △ABC\triangle ABC 的中位线，所以

AD→=12AB→,AE→=12AC→.\overrightarrow {A D} = \frac {1}{2} \overrightarrow {A B}, \overrightarrow {A E} = \frac {1}{2} \overrightarrow {A C}.

从而 DE→=AE→−AD→=12AC→−12AB→=12(AC→−AB→).\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} -\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB}). 又 BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB}

所以 DE→=12BC→.\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.

图 6.4-2

于是 DE∥BC, DE=12BC.DE \parallel BC,\ DE = \frac{1}{2} BC.

平面几何经常涉及距离（线段长度）和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题。用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论。

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2) 通过向量运算, 研究几何元素之间的关系, 如距离、夹角等问题;

(3) 把运算结果 “翻译” 成几何关系.

例 2 如图 6.4-3，已知平行四边形 ABCD，你能发现对角线 AC 和 BD 的长度与两条邻边 AB 和 AD 的长度之间的关系吗？

分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.

解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：

如图6.4-4，取 {AB→,AD→}\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\} 为基底，设 AB→=a\overrightarrow{AB} = a ， AD→=b\overrightarrow{AD} = b ，则

图6.4-3图6.4-4

AC→=a+b,DB→=a−b.\overrightarrow {A C} = a + b, \overrightarrow {D B} = a - b.

第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：

AC2→=(a+b)2=a2+2a⋅b+b2,\overrightarrow {A C ^ {2}} = (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2 a \cdot b + b ^ {2},

DB→2=(a−b)2=a2−2a⋅b+b2.\overrightarrow {D B} ^ {2} = (a - b) ^ {2} = a ^ {2} - 2 a \cdot b + b ^ {2}.

上面两式相加，得 AC2→+DB2→=2(a2+b2)\overrightarrow{AC^2} +\overrightarrow{DB^2} = 2(a^2 +b^2)

第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：

你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？

AC2+BD2=2(AB2+AD2).A C ^ {2} + B D ^ {2} = 2 (A B ^ {2} + A D ^ {2}).

练习

  1. 证明：等腰三角形的两个底角相等.

  2. 如下页图，正方形 ABCDABCD 的边长为 aa，EE 是 ABAB 的中点，FF 是 BCBC 边上靠近点 BB 的三等分点，AFAF 与 DEDE 交于点 MM，求 ∠EMF\angle EMF 的余弦值.