抛物线的焦半径

题型说明

• 常见问法：「抛物线上的点 $M$ 到焦点的距离为 $d$，求 $M$ 的横坐标 / 到 $y$ 轴的距离 / 坐标」。

• 给的是什么：一条标准形抛物线，加一个到焦点的距离。

• 核心换算：对 $y^{2}=2px\ (p>0)$，抛物线上一点 $M(x_M,y_M)$ 满足

  $$|MF|=x_M+\frac{p}{2} .$$

  这不是另一个公式，就是定义——右边正是 $M$ 到准线 $x=-\dfrac{p}{2}$ 的距离。

解题主线

1. 由方程读出 $2p$，除以 $2$ 得 $p$，写出焦点与准线。
2. 用定义把「到焦点」换成「到准线」，得到一个只含 $x_M$ 的一次方程。
3. 解出 $x_M$，再按问的是什么往下走（到 $y$ 轴的距离就是 $|x_M|$，求坐标还要回代方程解 $y_M$）。

常见陷阱

• $2p$ 与 $p$ 记混（见易错点）。
• 开口方向看错：$x^{2}=2py$ 的焦半径是 $y_M+\dfrac{p}{2}$，换的是纵坐标。
• 只解出一个点。$y_M^{2}=2px_M$ 一般给出上下对称的两个点，问坐标时都要写。