浙江 2016 · 数学 q09

冷启动：问的是横坐标，给的是到焦点的距离

$y^{2}=4x$ 的图像开口朝右、顶点在原点，整条曲线都在 $x\geq 0$ 这一侧。 所以曲线上任何一点 $M(x_M,y_M)$ 到 $y$ 轴的距离就是 $|x_M|=x_M$——问的其实是横坐标。

而给的条件是「到焦点的距离为 $10$」。焦点是一个具体的点， 到它的距离照定义是一个带根号的两点距离式子。这道题的全部内容， 就是把「到焦点的距离」和「横坐标」这两件事对上。

对上的桥梁只有一句话：抛物线上任一点到焦点的距离，等于它到准线的距离。 而到准线的距离是一条水平线段的长度，量的正是横坐标方向——桥就这么搭起来了。

解法一：用定义把「到焦点」换成「到准线」

第一步：从方程读出 $p$、焦点、准线

抛物线的标准方程是 $y^{2}=2px\ (p>0)$。题面给的是 $y^{2}=4x$，对照系数得

$$2p=4,\qquad p=2 .$$

于是焦点是 $F\left(\dfrac{p}{2},0\right)=(1,0)$，准线是 $x=-\dfrac{p}{2}=-1$。

注意这里除了一次 $2$。 方程里 $x$ 的系数是 $2p$ 而不是 $p$， 少除这一步，焦点会算成 $(2,0)$、准线会算成 $x=-2$，后面全盘偏一位。

第二步：定义说这两个距离一样长

抛物线的定义就是：曲线上任一点到焦点的距离，等于它到准线的距离。记 $M(x_M,y_M)$，则

$$|MF|=d(M,\ \text{准线}) .$$

第三步：到准线的距离是一个一次式

准线是竖直直线 $x=-1$，点 $M$ 在 $x_M\geq 0$ 这一侧，所以点到这条直线的距离就是横坐标之差：

$$d(M,\ \text{准线})=x_M-(-1)=x_M+1 .$$

合起来得到抛物线的焦半径公式：$|MF|=x_M+1$。

第四步：解出横坐标

题面给 $|MF|=10$，代入得

$$x_M+1=10,\qquad x_M=9 .$$

第五步：换算成到 $y$ 轴的距离

到 $y$ 轴（即直线 $x=0$）的距离是 $|x_M|=|9|=9$。

（顺带一提，这样的 $M$ 有两个：$y_M^{2}=4\times 9=36$ 给出 $y_M=\pm 6$， 即 $(9,6)$ 与 $(9,-6)$。它们的横坐标相同，所以到 $y$ 轴的距离都是 $9$，答案唯一。）

答案：$9$。

解法二：设点硬算，看出 |MF|² 是个完全平方

这条路不用定义，只用两点间距离公式，把焦半径公式现推一遍。

第一步：把点和焦点都写成坐标

由 $y^{2}=4x$ 得 $2p=4$、$p=2$，焦点 $F(1,0)$。设 $M(x,y)$ 在抛物线上，则

$$y^{2}=4x,\qquad x\geq 0 .$$

第二步：写出 $|MF|^{2}$，把 $y^{2}$ 换掉

$$|MF|^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}=(x-1)^{2}+4x .$$

关键动作：$y$ 只以 $y^{2}$ 出现，而 $y^{2}=4x$，所以 $y$ 被一步消干净，只剩 $x$。

第三步：展开，发现它是完全平方

$$(x-1)^{2}+4x=x^{2}-2x+1+4x=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2} .$$

第四步：开方（这一步要交代符号）

$x\geq 0$ 故 $x+1>0$，两边都非负，开方得

$$|MF|=x+1 .$$

这正是解法一里那个焦半径公式——只不过这里是算出来的，不是引用定义得来的。

第五步：代入条件解出 $x$，再回答问题

$$x+1=10\ \Longrightarrow\ x=9,\qquad y^{2}=4\times 9=36,\quad y=\pm 6 .$$

两个点 $(9,6)$、$(9,-6)$ 都在抛物线上，也都满足 $|MF|=10$（验一下： $\sqrt{(9-1)^{2}+36}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，对）。 它们到 $y$ 轴的距离都是 $|9|=9$。

答案：$9$。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法一是三行的事，快在根本不写坐标：读出 $p$、套焦半径公式、解一次方程。 考场上这道 4 分填空题就该这么做。

解法二慢一点，但它解释了焦半径公式为什么长成 $x+\dfrac{p}{2}$ 的样子： 把 $y^{2}=2px$ 代进两点距离的平方里，交叉项恰好把 $-2\cdot\dfrac{p}{2}x$ 补成 $+2\cdot\dfrac{p}{2}x$， 凑成完全平方 $\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^{2}$。 记不住公式的时候，现推一遍只要三行；而且开方那一步顺带交代了「为什么不用讨论正负」。

这道题唯一的坑在第一步：$y^{2}=4x$ 里 $4$ 是 $2p$，不是 $p$。 若把 $p$ 当成 $4$，准线变成 $x=-2$，焦半径公式变成 $x_M+2$， 答案就成了 $8$——一个同样”整齐”的数字，回头很难看出错在哪。 自查的办法是：焦点与准线到顶点的距离都该是 $\dfrac{p}{2}$，两者应当关于顶点对称。

一句话记住这道题：抛物线上的点到焦点有多远，就到准线有多远； 到准线的距离是「横坐标 $+\dfrac{p}{2}$」，所以到 $y$ 轴的距离就是它再减掉 $\dfrac{p}{2}$。