浙江 2024 · 数学 q11

冷启动：先把「丝带」翻译成一句数学

假设你刚学完点到定点、点到直线的距离。题面给的是一条叫 $C$ 的曲线，它由三句话钉死：

1. $C$ 过原点 $O$；
2. $C$ 上的点横坐标 $x>-2$；
3. $C$ 上的点，到定点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a\,(a<0)$ 的距离之积为 $4$。

设 $C$ 上的动点 $P(x,y)$。到 $F$ 的距离是 $\sqrt{(x-2)^2+y^2}$；到竖直线 $x=a$ 的距离是 $|x-a|$（点到直线的距离公式在 $B=0$ 时就是这一式）。于是第 3 句写成

$$\sqrt{(x-2)^2+y^2}\cdot|x-a|=4 .$$

这里先解决 A，两条路都要用它。 把第 1 句的 $O(0,0)$ 代进去：$\sqrt{4}\cdot|0-a|=4$，即 $2|a|=4$，$|a|=2$；又 $a<0$，故 $a=-2$。A 对。

定直线就是 $x=-2$。配上第 2 句 $x>-2$，有 $x+2>0$，绝对值可以直接脱：

$$\sqrt{(x-2)^2+y^2}\,(x+2)=4 \qquad (\star)$$

剩下三个选项都在 $(\star)$ 上判——下面两条路的分歧就在要不要把 $y$ 解出来。

⚠️ 条件是「距离之积为定值」，不是「之比为定值」。比为定值的那一类才有现成的标准方程可套，本题这条没有——别急着找名字，老实化简即可。

解法一：解出 y² 逐项算

怎么想到的。 四个选项问的都是「某点在不在 $C$ 上」「纵坐标能到多大」——全是关于 $y$ 的话。那就把 $y$ 从 $(\star)$ 里解出来，之后每一项都变成纯算术。这就是距离条件坐标化的最后一步。

① 解出 $y^2$。 $x+2>0$，$(\star)$ 两边除以 $x+2$ 再平方：

$$\sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{4}{x+2} \;\Longrightarrow\; (x-2)^2+y^2=\frac{16}{(x+2)^2} \;\Longrightarrow\; y^2=\frac{16}{(x+2)^2}-(x-2)^2 \qquad (\diamond)$$

② 逐项判。

• B：把 $x=2\sqrt2$ 代进 $(\diamond)$ 的右边。$(2\sqrt2\pm2)^2=12\pm8\sqrt2$，而

  $$\frac{16}{12+8\sqrt2}=\frac{16\,(12-8\sqrt2)}{(12+8\sqrt2)(12-8\sqrt2)}=\frac{16\,(12-8\sqrt2)}{144-128}=12-8\sqrt2=(2\sqrt2-2)^2 ,$$

  两项正好抵消，$y^2=0$，即 $y=0$。故 $(2\sqrt2,0)$ 在 $C$ 上，B 对。

• C：$(\diamond)$ 里取 $x=\dfrac32$（在第一象限内，$x>0$）：

  $$y^2=\frac{16}{\left(\frac72\right)^2}-\left(\frac12\right)^2=\frac{64}{49}-\frac14=\frac{256-49}{196}=\frac{207}{196}>1 .$$

  这个点的纵坐标 $y=\dfrac{\sqrt{207}}{14}\approx1.028$ 已经越过 $1$，所以「最大值为 $1$」不成立。C 错（一个反例就够，这就是构造反例）。

• D：$(\diamond)$ 的右边是「一个正数减去一个非负数」，故

  $$y_0^{\,2}=\frac{16}{(x_0+2)^2}-(x_0-2)^2\le\frac{16}{(x_0+2)^2} .$$

  开方——注意 $\sqrt{y_0^{\,2}}=|y_0|$，而 $x_0+2>0$ 使右边取正号：$|y_0|\le\dfrac{4}{x_0+2}$。于是 $y_0\le|y_0|\le\dfrac{4}{x_0+2}$。D 对（官方那句 $-\frac{4}{x_0+2}\le y_0\le\frac{4}{x_0+2}$ 是同一步的双边写法）。

故选 ABD。

解法二：只用距离式逐项判

怎么想到的。 $(\star)$ 里 $x+2>0$，直接除过去就是

$$|PF|=\frac{4}{x+2} \qquad (\bullet)$$

一句话：$C$ 上任一点到 $F$ 的距离，被它的横坐标完全定死。 有了这条，$y$ 根本不用解——三个选项都能在距离上判完。

• B：点 $(2\sqrt2,0)$ 在 $x$ 轴上、在 $F(2,0)$ 右边，它到 $F$ 的距离一眼可得：$2\sqrt2-2$。再看 $(\bullet)$ 要求多少：

  $$\frac{4}{2\sqrt2+2}=\frac{4\,(2\sqrt2-2)}{(2\sqrt2+2)(2\sqrt2-2)}=\frac{4\,(2\sqrt2-2)}{8-4}=2\sqrt2-2 .$$

  两者相等，该点满足题设条件，B 对。（这一步是把选项给的点代回题设、不是代回化简后的方程——代回验证。）

• D：$P(x_0,y_0)$ 到 $x$ 轴的距离是 $|y_0|$，那是直角边；$|PF|$ 是斜边。直角边不超过斜边：

  $$|y_0|\le|PF|=\frac{4}{x_0+2}\;\Longrightarrow\;y_0\le\frac{4}{x_0+2}.$$

  D 对，且等号只在 $PF$ 竖直时取到，即 $x_0=2$。

• C：上一条的等号点正好交代了 $1$ 的来历——$x_0=2$ 时 $(\bullet)$ 给 $|PF|=\dfrac44=1$，$P$ 在 $F$ 正上方，纵坐标恰是 $1$，点 $(2,1)$ 真在 $C$ 上。但等号点不是最高点：往左挪一点，取 $x=\dfrac32$，$(\bullet)$ 给 $|PF|=\dfrac{4}{7/2}=\dfrac87$，而横向差 $|x-2|=\dfrac12$，于是

  $$y^2=|PF|^2-(x-2)^2=\frac{64}{49}-\frac14=\frac{207}{196}>1 .$$

  第一象限里已经有纵坐标超过 $1$ 的点，C 错。

故选 ABD。

这两条路差在哪。 解法一把 $C$ 解成 $y^2=\frac{16}{(x+2)^2}-(x-2)^2$，四个选项一律化成代数计算——最稳、最不用动脑，代价是 D 那一步要记得开方带绝对值。解法二不解 $y$，只留 $|PF|=\frac{4}{x+2}$ 这条距离式：D 变成一句「直角边不超过斜边」，C 里那个可疑的 $1$ 也顺着等号条件 $x_0=2$ 自己冒出来。考场上的实际顺序：A、B 用哪条都一样快；D 走解法二一眼看穿；C 无论哪条路都得亲手举一个反例。

🕳️ 避坑

• 距离之积为定值 ≠ 距离之比为定值。看到「到定点」「到定直线」就默认它有标准方程，是这道题最大的坑。
• 脱绝对值 $|x+2|=x+2$、除以 $x+2$、开方取正号——三处都靠题面那句 $x>-2$。漏看这句，三步全悬空。
• 由 $y_0^{\,2}\le M^2$ 只能得到 $|y_0|\le M$。本题只问上界，写成 $y_0\le M$ 碰巧不出错；换成问下界或问 $|y_0|$ 就直接失分。
• C 里的 $1$ 不是凭空捏的，它是 $x_0=2$ 处的纵坐标（也就是 D 的等号点）。选项给一个「刚好凑得上」的数当最值时，先问它是从哪个特殊位置来的，再挪一小步试试。