等比数列的项不能为零

坑长什么样

「$x,\ y,\ z$ 成等比数列」列出 $y^2=xz$，解出参数——到此为止只做了一半。

$0,0,0$ 满足 $y^2=xz$，可它不是等比数列：公比 $q=\dfrac{y}{x}$ 要求 $x\ne0$，每一项都不能为零。所以

一个连锁反应值得记住

若首项为零（$x=0$），由 $y^2=xz=0$ 立刻得 $y=0$——第一项一旦为零，第二项也跟着为零。同理末项为零会逼出中项为零。所以退化情形总是「至少两项一起为零」，比想象中好识别。

解完怎么验

1. 把解出的参数代回三项，逐个看是否为零；
2. 若某个解让某项为零 → 那个解舍掉；
3. 但别急着连整个参数值一起否掉：方程若有两个根，另一个根可能完全合法（两根之积等于常数项，常常保证两根都非零且同号）。只有当所有根都退化时，那个参数值才真的不可用。

怎么防

• 写下 $y^2=xz$ 的同时，在旁边补一句「且三项非零，待验」。
• 收尾前把参数代回原始的三项（不是代回化简后的方程），扫一眼有没有零。