浙江 2008 · 数学 q06

冷启动：两个条件先把数列定死

题目说 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，给了两项：

$$a_{2}=2,\qquad a_{5}=\frac{1}{4}$$

要求的是

$$T_{n}=a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+\cdots+a_{n}a_{n+1}$$

第一件事：一个等比数列只有两个自由度——首项 $a_{1}$ 与公比 $q$。给两项就正好定死它。

第二件事：相除比相减好用。 等比数列的通项是 $a_{n}=a_{1}q^{n-1}$，两项一除，$a_{1}$ 就消掉了：

$$\frac{a_{5}}{a_{2}}=\frac{a_{1}q^{4}}{a_{1}q^{1}}=q^{3}$$

指数是 $3$，不是 $4$，也不是 $5$：$a_{5}$ 的指数是 $5-1=4$、$a_{2}$ 的是 $2-1=1$，相减得 $3$。 一个更好记的说法：从第 $2$ 项走到第 $5$ 项要乘 3 次公比（$2\to3\to4\to5$）， 所以是 $q^{3}$。代入数值：

$$q^{3}=\frac{1/4}{2}=\frac{1}{8}\implies q=\frac{1}{2}$$

（$q^{3}=\frac18$ 在实数里只有一个解——奇数次方根是唯一的，不像偶数次那样要正负讨论。） 再由 $a_{2}=a_{1}q$ 得 $a_{1}=\frac{a_{2}}{q}=4$，于是

$$a_{n}=4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=2^{3-n}$$

随手验两个：$a_{2}=2^{1}=2$ ✓，$a_{5}=2^{-2}=\frac14$ ✓。

第三件事：要求和的不是 $\{a_{n}\}$，是 $\{a_{n}a_{n+1}\}$。 别看见等比数列就去套 $\{a_n\}$ 的求和公式， 题目要的是相邻两项之积组成的新数列的和。这个新数列长什么样，是下面三条路各自的第一步。

解法一：乘积数列仍是等比，套求和公式

怎么想到的。 要求一串数的和，最省事的情形是这串数本身成等差或等比——那就先问一句： $\{a_{n}a_{n+1}\}$ 是等比数列吗？判等比只需看相邻两项之比是不是常数，而这里一比就知道。

⓪ 先把公比与首项定出来。 题面给的是 $a_{2}=2$、$a_{5}=\frac14$，两项之间隔了三步，所以

$$q^{3}=\frac{a_{5}}{a_{2}}=\frac{1/4}{2}=\frac18$$

（这里除以 $a_{2}=2\neq 0$，合法。）实数范围内三次方根唯一，$q=\frac12$；再退一步

$$a_{1}=\frac{a_{2}}{q}=\frac{2}{1/2}=4$$

注意这一步必须用 $q^{3}$、不能只用 $q^{2}$：下面第 ① 步会算出 $q^{2}=\frac14$，而由它只能得 $q=\pm\frac12$，$a_{1}$ 就会有 $4$ 与 $-4$ 两种可能。是 $q^{3}=\frac18$ 这个奇次方把符号钉死的。

① 记新数列，算它的公比。 令 $b_{n}=a_{n}a_{n+1}$，则

$$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}}{a_{n}a_{n+1}}=\frac{a_{n+2}}{a_{n}}=q^{2}$$

（约掉公共的 $a_{n+1}$——这一步用到 $a_{n+1}\neq 0$，而等比数列每一项都非零，所以放心约。） 这个比与 $n$ 无关，所以 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，公比是 $q^{2}=\left(\frac12\right)^{2}=\frac14$，不是 $q$。

② 算它的首项。

$$b_{1}=a_{1}a_{2}=4\times 2=8$$

③ 套等比数列前n项和。 公比 $\frac14\neq 1$，所以

$$T_{n}=\frac{b_{1}\left(1-(q^{2})^{n}\right)}{1-q^{2}} =\frac{8\left(1-\left(\frac14\right)^{n}\right)}{1-\frac14} =8\cdot\frac{4}{3}\left(1-4^{-n}\right) =\frac{32}{3}\left(1-4^{-n}\right)$$

对照选项，选 C。

④ 代 $n=2$ 对账。 不用 $n=1$——$T_{1}=b_{1}$ 是第 ② 步自己设的，拿它核验等于自己核自己。 改用 $n=2$：由 ⓪ 得 $a_{3}=a_{2}q=1$，于是

$$T_{2}=a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}=8+2\times 1=10$$

而公式给 $\frac{32}{3}\left(1-\frac{1}{16}\right)=\frac{32}{3}\cdot\frac{15}{16}=10$ ✓。 这一次左边用到了 $a_{3}$，是公式没碰过的新数据，对账才算数。

解法二：代两个 $n$，把四个选项刷掉三个

怎么想到的。 这是选择题，四个候选式子已经摆好了。与其推一个通式，不如验： 正确的式子必须对每一个 $n$ 都给出正确的和，那就挑最好算的 $n$ 代进去（特殊值代入）， 算不对的当场刷掉（排除法）。挑 $n$ 的诀窍是从小往大：$n=1$ 时左边只有一项，最好算。

① 先把数列定出来。 这一步躲不掉：由 $\frac{a_{5}}{a_{2}}=q^{3}=\frac{1/4}{2}=\frac18$ 得 $q=\frac12$， 再由 $a_{2}=a_{1}q$ 得 $a_{1}=4$。于是 $a_{1}=4,\ a_{2}=2,\ a_{3}=1,\ a_{4}=\frac12,\ \ldots$

② 代 $n=1$。 左边只有一项：

$$T_{1}=a_{1}a_{2}=4\times 2=8$$

四个选项各代 $n=1$：

$$\text{A}:16\left(1-4^{-1}\right)=16\cdot\frac34=12;\qquad \text{B}:16\left(1-2^{-1}\right)=16\cdot\frac12=8;$$ $$\text{C}:\frac{32}{3}\left(1-4^{-1}\right)=\frac{32}{3}\cdot\frac34=8;\qquad \text{D}:\frac{32}{3}\left(1-2^{-1}\right)=\frac{32}{3}\cdot\frac12=\frac{16}{3}$$

$12\neq 8$，A 出局；$\frac{16}{3}\neq 8$，D 出局。B 与 C 都给出 $8$，还分不开—— 这正是排除法要小心的地方：不能就此收手。

③ 再代 $n=2$。 左边两项：

$$T_{2}=a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}=4\times 2+2\times 1=10$$

两个幸存者各代 $n=2$：

$$\text{B}:16\left(1-2^{-2}\right)=16\cdot\frac34=12\neq 10;\qquad \text{C}:\frac{32}{3}\left(1-4^{-2}\right)=\frac{32}{3}\cdot\frac{15}{16}=10\ \checkmark$$

B 出局，只剩 C。

④ 再补一个点图稳当。 $n=3$：左边 $=10+a_{3}a_{4}=10+1\times\frac12=\frac{21}{2}$； C 给 $\frac{32}{3}\left(1-\frac{1}{64}\right)=\frac{32}{3}\cdot\frac{63}{64}=\frac{21}{2}$ ✓。 （排除法只保证「另外三个错」，正向再验一个点才踏实。）

解法三：不套公式：和乘公比，再相减把中间项全消掉

怎么想到的。 解法一要先想清楚「乘积数列是等比、公比是 $q^{2}$」再套公式。 如果一时不确定该套哪个公式、或者担心把公比写成 $q$，还有一条不需要任何求和公式的路： 把要求的和整个乘上一个合适的倍数，再与原式相减——中间项两两抵消，剩下的一头一尾直接解出和来。 这正是等比数列求和公式本身的来处，自己当场推一遍比背公式更不容易错。

① 把每一项写成 $2$ 的幂。 由冷启动的 $a_{n}=2^{3-n}$，

$$a_{n}a_{n+1}=2^{3-n}\cdot 2^{3-(n+1)}=2^{3-n}\cdot 2^{2-n}=2^{5-2n}$$

（验两项：$n=1$ 给 $2^{3}=8=a_{1}a_{2}$ ✓；$n=2$ 给 $2^{1}=2=a_{2}a_{3}$ ✓。）于是

$$T_{n}=2^{3}+2^{1}+2^{-1}+\cdots+2^{5-2n}$$

② 乘上「每一项到下一项要乘的那个数」。 相邻两项之比是 $\frac{2^{5-2(n+1)}}{2^{5-2n}}=2^{-2}=\frac14$， 所以把整个和乘 $\frac14$，每一项都恰好挪到下一项的位置：

$$\frac{1}{4}T_{n}=2^{1}+2^{-1}+\cdots+2^{5-2n}+2^{3-2n}$$

③ 相减。 两式一减，中间那一长串（从 $2^{1}$ 到 $2^{5-2n}$）一项不剩地抵消，只剩两头：

$$T_{n}-\frac{1}{4}T_{n}=2^{3}-2^{3-2n} \implies \frac{3}{4}T_{n}=8-8\cdot 4^{-n}$$

（末项用了 $2^{3-2n}=2^{3}\cdot 2^{-2n}=8\cdot 4^{-n}$。）

④ 解出来。

$$T_{n}=\frac{4}{3}\left(8-8\cdot 4^{-n}\right)=\frac{32}{3}\left(1-4^{-n}\right)$$

选 C。

三条路回头看。 解法一最正统，一句「乘积数列的公比是 $q^{2}$」之后就是套公式， 但那一句恰恰是本题唯一的技术关口——把公比写成 $q$ 就会得到 $16\left(1-2^{-n}\right)$，正是选项 B。 解法二完全绕开这个关口，只要会算前两项就能做，是考场上最稳的兜底；代价是它不告诉你为什么， 而且必须代到把选项分开为止（本题代 $n=1$ 时 B 与 C 都给 $8$，只代一次等于没做）。 解法三既不套公式也不背结论，用「乘公比再相减」当场把和消出来——好处是这套动作对 等差乘等比（错位相减）那类不能直接套公式的和照样有效，是更通用的手艺。

四个选项里藏着两处典型错误。 系数写成 $16$（选项 A、B）的，是把首项 $b_{1}=8$ 除以了 $1-q=\frac12$ 而不是 $1-q^{2}=\frac34$；括号里写成 $2^{-n}$（选项 B、D）的， 是把乘积数列的公比当成了 $q=\frac12$ 而不是 $q^{2}=\frac14$。 两处错误各错一半，正好凑出另外三个选项——C 是唯一两处都对的。

🕳️ 避坑

• $\dfrac{a_{5}}{a_{2}}=q^{3}$，指数是两个下标之差。 写成 $q^{4}$（照搬 $a_5$ 的指数）或 $q^{5}$ 都会解出错的公比，整道题跟着全错。默念一句「从第 $2$ 项走到第 $5$ 项乘了 3 次公比」最稳。
• 乘积数列的公比是 $q^{2}$，不是 $q$。 因为 $b_{n+1}/b_{n}=a_{n+2}/a_{n}$——下标跳了两格。 这是本题的命门，选项 B、D 就是为写成 $q$ 的人准备的。
• 求和公式的分母是 $1-(\text{新数列的公比})$。 新数列公比是 $\frac14$，分母就是 $1-\frac14=\frac34$， 不是 $1-\frac12$。把分母写错会把 $\frac{32}{3}$ 写成 $16$，落到选项 A。
• 代特殊值排除时，别在选项还没分开时收手。 $n=1$ 只刷掉两个；必须再代 $n=2$。 一般地，代到只剩一个为止，剩两个就说明这个 $n$ 选得不够狠。
• $T_{n}$ 的项数是 $n$，不是 $n+1$。 末项是 $a_{n}a_{n+1}$，下标最大到 $n+1$， 但项数只有 $n$ 个。数成 $n+1$ 项会让指数差一格，答案里的 $4^{-n}$ 就变成 $4^{-n-1}$。