等比数列通项的指数少减一

错在哪

从 $a_{1}$ 走到 $a_{n}$，中间只跨了 $n-1$ 步，每步乘一个 $q$：

写成 $a_{1}q^{\,n}$ 就等于多走了一步——它算出来的其实是 $a_{n+1}$。

为什么容易犯：等比数列的前 $n$ 项和里确实有个 $q^{n}$（$S_{n}=\dfrac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}$，$n$ 项相乘的最高次是 $q^{n-1}$，但求和公式化简后露出来的是 $q^{n}$）。两个公式挨着背，指数就串了。记法：求和公式里的 $n$ 是「项数」，通项里的 $n-1$ 是「步数」；项数比步数多 $1$。

翻车现场

2009 年浙江卷（理）第 11 题：$q=\dfrac12$，求 $\dfrac{S_{4}}{a_{4}}$。

正确：$a_{4}=a_{1}q^{3}=\dfrac{a_{1}}{8}$，$S_{4}=\dfrac{a_{1}\left(1-q^{4}\right)}{1-q}=\dfrac{15a_{1}}{8}$，比值 $\dfrac{15a_{1}/8}{a_{1}/8}=15$。

指数写成 $4$：$a_{4}$ 被算成 $\dfrac{a_{1}}{16}$，比值变成 $\dfrac{15a_{1}/8}{a_{1}/16}=30$——恰好是正确答案的 $2$ 倍，也就是差了一个 $\dfrac1q$。答案是个漂亮的整数，一点也看不出错。

怎么防

• 先写第 $1$ 项验一次：把 $n=1$ 代进自己写的通项，必须得回 $a_{1}$。写成 $a_{1}q^{\,n}$ 时代进去是 $a_{1}q$，当场露馅。
• 小题就直接数：只涉及前几项时（本题只到第 $4$ 项），把 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 逐个写出来，比套公式更不容易错，也更快。
• 收口检查看倍数：等比数列题算错指数，错误答案往往是正确答案的 $q$ 倍或 $\dfrac1q$ 倍。答案是「整数的整数倍」时尤其要回头验一遍。