套路

倒过来看成新的等比数列

有限项的等比数列 a1,…,ana_{1},\dots,a_{n} 倒过来写成 an,…,a1a_{n},\dots,a_{1}，仍是等比数列——首项换成 ana_{n}、公比换成 1q\dfrac1q。题目问的量围着**末项**转时，倒着看比正着算省一半力气。

解题套路

设 {an}\{a_{n}\} 是公比为 qq（q≠0q\neq 0）的等比数列。把前 nn 项倒序排成

b1=an,b2=an−1,…,bn=a1,b_{1}=a_{n},\quad b_{2}=a_{n-1},\quad \dots,\quad b_{n}=a_{1},

则 bk+1bk=an−kan−k+1=1q\dfrac{b_{k+1}}{b_{k}}=\dfrac{a_{n-k}}{a_{n-k+1}}=\dfrac1q——倒序之后还是等比数列，公比取了倒数。于是

an−jan=(1q)j(j=0,1,…,n−1),Snan=∑j=0n−1(1q)j.\frac{a_{n-j}}{a_{n}}=\left(\frac1q\right)^{j}\quad(j=0,1,\dots,n-1), \qquad \frac{S_{n}}{a_{n}}=\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac1q\right)^{j}.

什么时候该倒过来

题目问的量以末项为基准时：Snan\dfrac{S_{n}}{a_{n}}、a1an\dfrac{a_{1}}{a_{n}}、「最后一项占总和的几分之几」这类。正着算要先把 ana_{n} 写成 a1qn−1a_{1}q^{n-1}、再把 SnS_{n} 写成 a1a_{1} 的式子、最后约掉 a1a_{1}；倒着看则一步都不用——把 ana_{n} 当成「一格」，其余各项就是 1q, 1q2, …\dfrac1q,\ \dfrac1{q^{2}},\ \dots 格，数完相加即可。

q=12q=\dfrac12、n=4n=4 时这四格分别是 8,4,2,18,4,2,1，和是 1515；心算就能报出答案。

注意

  • q≠0q\neq 0 才能倒（等比数列本来也不允许 q=0q=0），否则 1q\dfrac1q 没有意义。
  • 倒序只对有限段做。无穷等比数列没有「末项」，谈不上倒过来。
  • 倒过来之后公比是 1q\dfrac1q：原来 ∣q∣<1|q|<1（递减）的，倒过来是递增的。写求和公式时别把新公比又写回 qq。

学它之前先会

共 2 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。