按位置竖读猜通项

解题套路

给出第 $1$ 行到第 $m$ 行结构相同的式子，要一般的第 $n$ 行。不要整行整行地猜——整行是好几个自由度绞在一起，看不出规律；一个位置只有一个自由度。

1. 列表：一行一横排，同一个位置上下对齐。位置包含下标、上标、底数、指数、系数、符号、项数。
2. 补齐被省掉的写法：$2$ 补成 $2^{1}$，$x$ 补成 $x^{1}$，$-a$ 的符号单独拆成一列。省略写法是这条套路最大的绊脚石。
3. 逐列猜：
   • 逐差为常数 $d$ $\Rightarrow$ 该列是 $a_1+(n-1)d$；
   • 逐商为常数 $q$ $\Rightarrow$ 该列是 $a_1q^{\,n-1}$；
   • 只在 $+$、$-$ 之间跳 $\Rightarrow$ $(-1)^{n}$ 或 $(-1)^{n+1}$，按第一行的符号定用哪个；
   • 项数一列往往就是 $n$ 或 $n+1$。
4. 装回去，再用给出的每一行逐个回代核对。

为什么可以这样拆

「几行同构」的准确含义是：存在一个含参 $n$ 的表达式模板，各行只是把 $n$ 取成 $1,2,3,\dots$。模板里每个位置各是 $n$ 的一个函数，互不牵扯——于是「求整体」就分解成了「各求各的」。同构是前提：若某一行比别行多出一个因子、少掉一项，位置就对不齐，这条路当场作废。

猜完必须做的两件事

• 回代题面给的每一行。 这是零成本的必做功课。
• 再预测一行题面没给的。 用一般式算一个值，再照原始定义实算同一个值，两边相等才算站得住。只对上给出的那几行，并不能排除「第五行开始就分道」。

猜想终究是猜想：填空题问「推测」时写到这里就够了；要真的证，得另找一条路（配对、赋值、递推、归纳）。