归纳猜想只对上前几项就当证完

坑在哪

题面给出 $n=1,2,3,4$ 四行等式，你从三列数里读出了通项，回代四行全中，于是写下一般结论——这一步是推测，不是证明。「对 $n=1,2,3,4$ 成立」这句话，与「对一切 $n\in\mathbf{N}^{*}$ 成立」是两个命题，前者推不出后者。

反面的例子多得很：

• $f(n)=n^{2}+n+41$ 在 $n=0,1,\dots,39$ 上全是质数，$n=40$ 就不是（$41^2$）。
• 圆周上取 $n$ 个点两两连弦，弦把圆面分成的区域数在 $n=1,\dots,5$ 时是 $1,2,4,8,16$，看着像 $2^{n-1}$，$n=6$ 却是 $31$。

「前 $k$ 项对」能排除的猜想有限；换一个从第 $k+1$ 项才分道的式子，它照样对上前 $k$ 项。

怎么办

分两种场合，要求不同。

• 填空题问「推测」：把猜想写出来就够，这正是题目要的。但至少做完两件零成本的事：回代题面给的每一行；再预测一个题面没给的 $n$，一边用一般式算、一边照原始定义实算，两边对上。
• 解答题要「证明」：必须另找一条真正的路——数学归纳法、配对相消、赋值（在恰当的点代入）、递推。猜想只负责告诉你「要证的是哪个式子」。

一句话记法

猜是为了知道要证什么，不是为了代替证。 写答案时心里要清楚自己站在哪一边：是「填一个推测出来的式子」，还是「给出一个证明」。