把递增当成恒正

单调性是一句关于差的话：$f(x_2)>f(x_1)$（$x_2>x_1$），或者 $a_{n+1}>a_n$。它描述的是相邻两个值谁高谁低，与这些值落在横轴上头还是下头毫无关系。

判别式检验：把整条图象上下平移——$f(x)\rightsquigarrow f(x)-C$，或 $a_n\rightsquigarrow a_n-C$。差 $f(x_2)-f(x_1)$、$a_{n+1}-a_n$ 一个字都没变，单调性完全保留；可只要 $C$ 取得够大，函数值就全掉到横轴下面去了。一个在平移下不变、一个在平移下必变的性质，不可能互相推出。

两个方向不对称

两条都不成立，但错法不同：前者是「起点没锁住」，后者是「趋势没锁住」。

什么时候「递增」才真能给出「恒正」

只差一句话——把起点补上。

• 数列：$\{a_n\}$ 递增且 $a_1>0$ $\Longrightarrow$ 对一切 $n$ 有 $a_n>0$。
• 函数（定义在 $[m,+\infty)$ 上）：$f$ 递增且 $f(m)>0$ $\Longrightarrow$ $f$ 在该区间上恒正。

这句「起点补上」正是所有考法的落点：题目给你「递增」，你要的是「恒正」，中间缺的从来只是第一项／左端点的符号。反过来，如果题目给的是「恒正」，那么第一项的正性是白送的（取 $n=1$ 即可），这也是为什么「恒正 $\Rightarrow$ 递增」在附加条件下常常反而好证。

一个典型现场：等差数列的前 $n$ 项和

设公差 $d\neq 0$，$S_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$。把两个条件都解成对 $(a_1,d)$ 的不等式：

后者是前者的真子集（$d>0$ 时 $-d<0$）。注意这里「恒正 $\Rightarrow$ 递增」反而成立——那不是通例，而是因为这一族被限死成了等差数列的前 $n$ 项和：恒正逼出 $d>0$，把「趋势」也一并锁住了，上表第二行说的自由起伏在这族里根本做不到。真正照通例失效的是另一个方向，而且所有反例恰好铺满那条缝

缝里随手取 $a_1=-1$、$d=2$：$a_n=2n-3$，$S_n=n^2-2n$，$S_1=-1<0$，可 $S_{n+1}-S_n=2n-1>0$ 一路递增。

稳妥做法

见到「递增／单调增」与「恒大于 $0$」出现在同一道题里，先分头把两个条件各自解干净，再比区域大小，不要在脑子里直接接。一句自检口诀：

单调性管趋势，正负管位置；要从趋势推位置，必须先钉住一个点。