函数的单调性

教材原文

如果 $\forall x_{1}, x_{2} \in I$，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f(x_{1}) < f(x_{2})$，那么就称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增（图3.2-3（1））.

特别地，当函数 $f(x)$ 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数（increasing function).

如果函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增或单调递减，那么就说函数 $y = f(x)$ 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 $I$ 叫做 $y = f(x)$ 的单调区间.

要点

• 单调性是区间的性质：说「$f$ 单调递增」必须连同「在哪个区间上」一起说。
• 判单调的三件常用工具：定义（作差 $f(x_1)-f(x_2)$ 判号）、图象（二次函数看开口与对称轴）、导数（$f'\ge 0$）。
• 两个增函数的和仍增——$e^x$ 增、$\ln(x+1)$ 增，则 $e^x+\ln(x+1)$ 增，不用求导也判得出。