浙江 2014 · 数学 q10

题面

10. 设函数 $f_{1}(x)=x^{2}$ ， $f_{2}(x)=2(x-x^{2})$ ， $f_{3}(x)=\frac{1}{3}|\sin2\pi x|$ ， $a_{i}=\frac{i}{99}$ ，i=0,1,2, $\cdots,99$ ，记 $I_{k}=|f_{k}(a_{1})-f_{k}(a_{0})|+|f_{k}(a_{2})-f_{k}(a_{1})|+\cdots+|f_{k}(a_{99})-f_{k}(a_{98})|$ ， k=1,2,3 则 A. $I_{1}<I_{2}<I_{3}$ B. $I_{2}<I_{1}<I_{3}$ C. $I_{1}<I_{3}<I_{2}$ D. $I_{3}<I_{2}<I_{1}$

答案

B

【解析 2】估算法： $I_{k}$ 的几何意义为将区间 [0,1] 等分为 99 个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和。如图为将函数 $f_{1}(x)=x^{2}$ 的区间 [0,1] 等分为 4 个小区间的情形，因 $f_{1}(x)$ 在 [0,1] 上递增，此时 I_{1}=|f(a_{1})-f(a_{0})|+|f(a_{2})-f(a_{1})|+|f(a_{3})-f(a_{2})|+|f(a_{4})-f(a_{3})|$$=A_{1}H_{1}+A_{2}H_{2}+A_{3}H_{3}+A_{4}H_{4}=f(1)-f(0)=1 ，同理对题中给出的 $I_{1}$ 同样有 $I_{1}=1$ ；而 $I_{2}$ 略小于 $2\times\frac{1}{2}=1$ ， $I_{3}$ 略小于 $4\times\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$ ，所以估算得 $I_{2}<I_{1}<I_{3}$

解析

由 $\left|\left(\frac{i}{99}\right)^{2}-\left(\frac{i-1}{99}\right)^{2}\right|=\frac{1}{99}\cdot\frac{2i-1}{99}$ ，

$I_{1} = \frac{1}{9 9} \left(\frac{1}{9 9} + \frac{3}{9 9} + \frac{5}{9 9} + \dots + \frac{2 \times 9 9 - 1}{9 9}\right) = \frac{1}{9 9} \cdot \frac{9 9^{2}}{9 9} = 1$

由 $2\left|\frac{i}{99} - \frac{i - 1}{99} - \left(\frac{i}{99}\right)^2 + \left(\frac{i - 1}{99}\right)^2\right| = 2 \times \frac{1}{99} \left|\frac{99 - (2i - 1)}{99}\right|$ 故 I_{2} = 2 \times \frac{1}{99} \times 2 \times \frac{50(98 + 0)}{2 \times 99} = \frac{98}{99} \cdot \frac{100}{99} < 1$$I_{3} = \frac{1}{3} \left(\left|\sin(2\pi \cdot \frac{1}{99})\right| - \left|\sin(2\pi \cdot \frac{0}{99})\right| + \left|\sin(2\pi \cdot \frac{2}{99})\right| - \left|\sin(2\pi \cdot \frac{1}{99})\right| + \dots + \left|\sin(2\pi \cdot \frac{99}{99})\right| - \left|\sin(2\pi \cdot \frac{98}{99})\right|\right)$$= \frac{1}{3}[2\sin(2\pi \cdot \frac{25}{99}) - 2\sin(2\pi \cdot \frac{74}{99})] > 1 故 $I_{2} < I_{1} < I_{3}$，故选B