浙江 2014 · 数学 q10

冷启动：$I_k$ 不是面积，是折线走过的「总竖直路程」

$$I_k=\sum_{i=1}^{99}\left|f_k(a_i)-f_k(a_{i-1})\right| ,\qquad a_i=\frac{i}{99} .$$

每一项是相邻两个分点上函数值的落差，外面套了绝对值，所以升和降都算正贡献。 把这 99 段落差首尾相接，就是一支笔沿着折线走一趟时上下移动的总距离。

绝对值是这道题的全部。 去掉它，和会立刻望远镜相消成 $f_k(1)-f_k(0)$， 三个函数分别给出 $1$、$0$、$0$——只认两端，中途上上下下全被抵消掉， $f_2$ 与 $f_3$ 还会打平。正是绝对值让每一次起伏都计入总账，形状才说得上话。

三条曲线的形状（这一步不用算，画个草图就有）：

于是粗看：$I_3$ 最大（A、B 都满足），而 $I_1$ 与 $I_2$ 打平了——四个选项里没有一条写着相等。

这道题真正的机关就藏在那个「粗算」里：$2\times\frac12$ 和 $4\times\frac13$ 都默认了 「峰谷正好落在分点上」。$99$ 是奇数，$\frac12=\frac{49.5}{99}$ 不是分点；$99$ 也不被 $4$ 整除， $\frac14$、$\frac34$ 同样不是。踩不到，粗算的值就取不到——而取不到的方向是确定的。

关键引理：单调的一段，绝对值和会望远镜相消

设节点值 $f(a_j)\leq f(a_{j+1})\leq\cdots\leq f(a_l)$（只要求这些点上单调，中间怎么弯无所谓）， 那么每个 $|f(a_i)-f(a_{i-1})|$ 都等于 $f(a_i)-f(a_{i-1})$，求和中间项两两抵消：

$$\sum_{i=j+1}^{l}\left|f(a_i)-f(a_{i-1})\right|=f(a_l)-f(a_j) .$$

节点值单调不增时同理，结果是 $f(a_j)-f(a_l)$。合起来一句话：

把 $[0,1]$ 在「节点值折返的地方」切开，$I$ 就等于各段两端函数值之差的绝对值之和。

注意「切在节点上」这五个字：切口是某个 $a_i$，不是真正的极值点 $x_0$。$x_0$ 不在分点上时， 折线在那一段的最高点只到 $f(a_i)$，比 $f(x_0)$ 低一点点——这就是全部的门道。

解法一：分段单调，望远镜相消到折返的节点

$f_1$：全程单调，$I_1=1$ 且与分点无关

$f_1(x)=x^{2}$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，一段到底，引理直接给

$$I_1=f_1(1)-f_1(0)=1-0=1 .$$

几等分都一样——这一条是后面两个量的参照尺。

$f_2$：峰在 $x=\frac12$，可 $\frac12$ 不是分点

$f_2(x)=2x(1-x)$ 关于 $x=\frac12$ 对称。节点值 $f_2\!\left(\frac{i}{99}\right)$ 随 $i$ 先增后减， 最大值在离 $\frac12$ 最近的分点处取到。$\frac12=\frac{49.5}{99}$，最近的是 $i=49$ 与 $i=50$， 由对称性两者相等：

$$f_2\!\left(\frac{49}{99}\right)=f_2\!\left(\frac{50}{99}\right) =2\cdot\frac{49}{99}\cdot\frac{50}{99}=\frac{4900}{9801} .$$

节点值在 $i=49$ 与 $i=50$ 之间没有变化（那一段的落差是 $0$），所以折返只有这一处：

$$I_2=\underbrace{\left(\tfrac{4900}{9801}-0\right)}_{\text{上}}+\underbrace{0}_{i=49\to 50} +\underbrace{\left(\tfrac{4900}{9801}-0\right)}_{\text{下}}=\frac{9800}{9801}<1 .$$

只比 $1$ 小 $\frac{1}{9801}$，但方向明确：$I_2<I_1$。

$f_3$：两峰一谷，三处全踩空

记 $b_i=\left\lvert\sin\frac{2\pi i}{99}\right\rvert$，则 $f_3(a_i)=\frac{b_i}{3}$。$\lvert\sin 2\pi x\rvert$ 的周期是 $\frac12$，在 $[0,1]$ 上是两个拱，节点值的折返处是离 $\frac14,\frac12,\frac34$ 最近的分点：

• 离 $\frac14=\frac{24.75}{99}$ 最近的是 $i=25$：$b_{25}=\left\lvert\sin\frac{50\pi}{99}\right\rvert=\sin\frac{50\pi}{99}$；
• 离 $\frac12=\frac{49.5}{99}$ 最近的是 $i=49$ 与 $i=50$： $\frac{2\pi\cdot 49}{99}=\pi-\frac{\pi}{99}$、$\frac{2\pi\cdot 50}{99}=\pi+\frac{\pi}{99}$， 故 $b_{49}=b_{50}=\sin\frac{\pi}{99}$（谷底没落到 $0$）；
• 离 $\frac34=\frac{74.25}{99}$ 最近的是 $i=74$：$\frac{74}{99}=1-\frac{25}{99}$，由对称性 $b_{74}=b_{25}$。

四段单调，望远镜相消：

$$3I_3=(b_{25}-b_0)+(b_{25}-b_{49})+(b_{74}-b_{50})+(b_{74}-b_{99}) =2b_{25}+2b_{74}-b_{49}-b_{50} ,$$ $$\boxed{\;I_3=\frac{2}{3}\left(2\sin\frac{50\pi}{99}-\sin\frac{\pi}{99}\right)\approx 1.3120\;}$$

（用 $\frac{50\pi}{99}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{198}$ 可写成 $\frac23\left(2\cos\frac{\pi}{198}-\sin\frac{\pi}{99}\right)$， 看得更清楚：它比粗算的 $\frac43$ 小 $\frac23\sin\frac{\pi}{99}\approx0.021$。）

收口

$$I_2=\frac{9800}{9801}<1=I_1<1.312\approx I_3 \quad\Longrightarrow\quad I_2<I_1<I_3 .$$

选 B。

解法二：逐项写出每一段的落差再硬加

这是原卷走的路。它不认「望远镜」，而是把每一段的落差写成 $i$ 的式子再求和——对 $f_1$、$f_2$ 很顺， 对 $f_3$ 就非走望远镜不可了。

$I_1$：落差成等差数列

$$\left|\left(\frac{i}{99}\right)^{2}-\left(\frac{i-1}{99}\right)^{2}\right| =\frac{(2i-1)}{99^{2}} ,$$

分子 $1,3,5,\dots,197$ 是公差为 $2$ 的等差数列，共 $99$ 项，首末配对求和得 $\frac{99(1+197)}{2}=99^{2}$：

$$I_1=\frac{99^{2}}{99^{2}}=1 .$$

$I_2$：落差是一个绝对值套等差

$$\left|f_2\!\left(\tfrac{i}{99}\right)-f_2\!\left(\tfrac{i-1}{99}\right)\right| =2\cdot\frac{1}{99}\cdot\frac{\lvert 99-(2i-1)\rvert}{99} =\frac{2\lvert 100-2i\rvert}{99^{2}} .$$

$i\leq 49$ 时 $\lvert100-2i\rvert=100-2i$ 取 $98,96,\dots,2$；$i=50$ 时为 $0$； $i\geq 51$ 时取 $2,4,\dots,98$。两串等差之和都是 $\frac{49(2+98)}{2}=2450$，所以

$$I_2=\frac{2\times(2450+0+2450)}{99^{2}}=\frac{9800}{9801} .$$

（$i=50$ 那一项是 $0$——它正是「节点值在 $49$ 与 $50$ 之间没变」的另一种说法。）

$I_3$：这条路走不通

$\left\lvert\,\lvert\sin\frac{2\pi i}{99}\rvert-\lvert\sin\frac{2\pi(i-1)}{99}\rvert\,\right\rvert$ 写不成 $i$ 的初等闭式，只能回到解法一的分段望远镜。原卷这里也是这么做的， 只是它把 $b_{49}$、$b_{50}$ 两项漏掉了（见下一节）。

解法三：先立一把尺子，另外两个只需定在尺子哪一边

考场上不必把 $I_2$、$I_3$ 算准，只要各定在 $1$ 的哪一边。

尺子：$I_1=1$（单调，精确，零风险）。

$I_2<1$：$I_2=2\times\bigl(f_2\ \text{在节点上的最大值}\bigr)$，而节点上的最大值 $<f_2\!\left(\frac12\right)=\frac12$ （峰不是分点，取不到），所以 $I_2<2\times\frac12=1$。严格小于，不需要算出 $\frac{9800}{9801}$。

$I_3>1$：这一边要一个下界。由解法一的闭式，

$$I_3=\frac{2}{3}\left(2\cos\frac{\pi}{198}-\sin\frac{\pi}{99}\right) >\frac{2}{3}\left(2\cos\frac{\pi}{198}-\frac{\pi}{99}\right) >\frac{2}{3}\left(2\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{31}\right) =\frac{2}{3}\left(\sqrt3-\frac{1}{31}\right)>\frac{2}{3}\times 1.69>1 .$$

（用到 $\sin t<t$、$\frac{\pi}{198}<\frac{\pi}{6}$ 故 $\cos\frac{\pi}{198}>\frac{\sqrt3}{2}$、$\frac{\pi}{99}<\frac{1}{31}$，全是心算量。）

于是 $I_2<1=I_1<I_3$，选 B。

原卷那句「$I_3$ 略小于 $\frac43$」为什么不够

原卷的【解析 2】给的是估算：「$I_2$ 略小于 $1$，$I_3$ 略小于 $\frac43$」。前半句好用—— 它给的是 $I_2$ 的上界，而我们要证的正是 $I_2<1$，方向对得上。

后半句方向反了：「$I_3<\frac43$」是上界，可我们要的是 $I_3>1$，需要下界。 上界比 $1$ 大，什么都推不出来（$I_3$ 完全可能是 $0.5$，那也「小于 $\frac43$」）。 必须像上面那样另找一条往小放的链，或者干脆把 $I_3$ 算出来。

顺带记一处校订：原卷解析末尾把 $I_3$ 写成 $\frac13\left[2\sin\left(2\pi\cdot\frac{25}{99}\right)-2\sin\left(2\pi\cdot\frac{74}{99}\right)\right]$， 那是漏掉了 $b_{49}$、$b_{50}$ 两项的结果（约 $1.3332$），真值是 $\approx1.3120$， 两者差 $\frac23\sin\frac{\pi}{99}\approx0.0212$。结论 $I_3>1$ 不受影响，详见校订层的「另记」。

为什么出题人偏偏选 99

假如等分数取成 $4$ 的倍数（比如 $100$ 不行、$96$ 可以），那么 $\frac14,\frac12,\frac34$ 全是分点，于是

$$I_1=1,\qquad I_2=2\times\frac12=1,\qquad I_3=4\times\frac13=\frac43 ,$$

$I_1=I_2$——四个选项全是严格不等号，这题无解。

$99$ 是奇数（$\frac12$ 踩不到）且不被 $4$ 整除（$\frac14,\frac34$ 也踩不到）， 正好把两个「$\approx$」变成严格不等号，让 $I_2$ 掉到 $1$ 以下、$I_3$ 从 $\frac43$ 退一点点但仍在 $1$ 以上。 看到一个”怪”的等分数，就该想到出题人是在拿”踩不到”做文章。

三条路怎么选

实战顺序：先用引理秒掉 $I_1=1$ 当尺子，再一眼看出 $I_2$「上一趟下一趟、峰还踩不到」故 $I_2<1$， 最后确认 $I_3$ 有四趟、每趟接近 $\frac13$ 故超过 $1$。三步都不用真算，一分钟内选 B。

一句话带走

$\sum\lvert\Delta f\rvert$ 是折线走过的总竖直路程：

$$I=\sum_{\text{各单调段}}\bigl\lvert\,\text{该段两端的函数值之差}\,\bigr\rvert .$$

单调段的切口只能落在节点上。区间等分成 $N$ 份时，先算一下极值点乘 $N$ 是不是整数—— 踩不到峰，按峰算出来的就只是个上界，真实值严格更小，而这一点点差距常常正是答案的分水岭。