定区间上的最小值随参数分段

题型说明

典型句式：

设 $g(a)$ 为 $f_{a}(x)$ 在区间 $[m,n]$ 上的最小值（最大值）。(i) 写出 $g(a)$ 的表达式； (ii) 求 $a$ 的取值范围，使得 $g(a)$ 落在某个区间里。

动的是函数，不动的是区间。 参数一变，函数的「拐点」（由减变增、或由增变减的那个位置）跟着移动， 而 $[m,n]$ 原地不动。于是拐点与区间只有三种相对位置，最值点也就只有三个可能的落点：

（求最大值时把三行的结论对调：先减后增的情形最大值在两个端点中较大的那一个，反而要比一次。）

分段式的段数与分界点由此定死：分界就是「拐点刚好落在端点上」的那几个参数值。

三步

1. 先做单调性那一问。 把拐点用参数表示出来（本类题几乎总是先问「求单调区间」， 就是在替你做这一步）。参数还可能让拐点整个消失（导数恒不为零），那是单独的一段， 最容易被漏掉。
2. 按拐点与区间端点的大小关系分段，逐段写出最值。 每段写完代一个具体的参数值验算一次。
3. 验接缝。 相邻两段在分界处应当给出同一个值——最值函数是连续的。 对不上就说明某一段写错了，这是最便宜的一次自检。

反着问的那一半

(ii) 要由 $g$ 的取值范围反求参数，有两条路：

• 逐段解：每段各解一次不等式，再与该段的前提取交，最后把几段的结果并起来。 稳，但要小心「并」写成「交」。
• 先定整体形状：很多时候 $g$ 在参数上是连续且严格单调的（参数变大把函数整体压低， 最值自然跟着降），那么解集就是一个闭区间，只需解两个方程定出两个端点。 这条路短得多，代价是必须先把单调性证出来。

常见陷阱

• 漏掉「拐点不存在」那一段（参数取某些值时导数不变号）。
• 分段的结果要并不要交——三段是对参数的分类，不是对同一个参数的三个条件。
• 每段解完忘了与该段前提取交，于是把别段的解算进来。
• 接缝处开闭写反：分界点归哪一段，取决于那一点上最值点落在哪里；两段在该点给的值相同时， 归谁都不影响答案，但式子要自洽。