浙江 2008 · 数学 q21

题面

(21)（本题15分）已知a是实数，函数 $\int(x)=\sqrt{x}(x-a)$ 。

（I）求函数 $\int (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）设 $g(a)$ 为 $\int(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最小值。

(i) 写出 $g(a)$ 的表达式;

(ii) 求 $a$ 的取值范围，使得 $-6 \leq g(a) \leq -2$。

（Ⅰ）解：函数的定义域为 $[0,+\infty)$ ，$f'(x)=\sqrt{x}+\frac{x-a}{2\sqrt{x}}=\frac{3x-a}{2\sqrt{x}}\quad(x>0).$

若 $a \leqslant 0$ ，则 $f'(x) > 0$

$f(x)$ 有单调递增区间 $[0, +\infty)$ .

若 $a > 0$ ，令 $f^{\prime}(x) = 0$ ，得 $x = \frac{a}{3}$

当 $0 < x < \frac{a}{3}$ 时， $f'(x) < 0$ ，

当 $x > \frac{a}{3}$ 时， $f^{\prime}(x) > 0$

$f(x)$ 有单调递减区间 $\left[0,\frac{a}{3}\right]$，单调递增区间 $\left(\frac{a}{3}, + \infty\right)$.

（Ⅱ）解：（i）若 $a \leqslant 0$ ，$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递增，

所以 $g(a)=f(0)=0$ .

若 $0 < a < 6$ ， $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{a}{3}\right]$ 上单调递减，在 $\left(\frac{a}{3}, 2\right]$ 上单调递增，

所以 $g(a) = f\left(\frac{a}{3}\right) = -\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}.$

若 $a \geqslant 6$ ，$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递减，

所以 $g(a)=f(2)=\sqrt{2}(2-a)$ .

综上所述， $g(a) = \left\{\begin{array}{ll}0, & a\leqslant 0,\\ -\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}, & 0 < a < 6,\\ \sqrt{2} (2 - a), & a\geqslant 6. \end{array} \right.$

(ii) 令 $-6 \leqslant g(a) \leqslant -2$ .

若 $a \leqslant 0$ ，无解.

若 $0 < a < 6$ ，解得 $3 \leqslant a < 6$

若 $a \geqslant 6$ ，解得 $6 \leqslant a \leqslant 2 + 3\sqrt{2}$

故 $a$ 的取值范围为 $3 \leqslant a \leqslant 2 + 3\sqrt{2}$.