浙江 2017 · 数学 q17

冷启动：函数长成两层，先把里层换掉

$$f(x)=\left|\,x+\frac4x-a\,\right|+a,\qquad x\in[1,4]$$

它是套起来的两层：

• 里层 $t=x+\dfrac4x$——一个只跟 $x$ 有关、跟参数 $a$ 无关的表达式；
• 外层 $h(t)=\left|t-a\right|+a$——参数 $a$ 全在这一层。

$x$ 只通过 $t$ 影响结果，所以只要知道 $t$ 能取到哪些值，$x$ 就可以退场。 这一步是两条路共同的地基，先把它做扎实。

里层的值域：不是 $[4,+\infty)$，是 $[4,5]$

$t=x+\dfrac4x$ 在 $(0,2]$ 上递减、在 $[2,+\infty)$ 上递增，谷底在 $x=2$（由 $x\cdot\dfrac4x=4$ 定值， 均值不等式的等号处 $x=\dfrac4x$，即 $x=2$）。区间 $[1,4]$ 把它截出这么三个值：

$$t(1)=1+4=5,\qquad t(2)=2+2=4,\qquad t(4)=4+1=5$$

连续函数在区间上先降到 $4$ 再升回 $5$，故

$$t\in[4,5]$$

两个端点都恰好抬到 $5$——这个巧合让后面的图特别干净。

这一步是本题唯一的坑。 若只用均值不等式取到下界、写成 $t\ge4$，就把 $x\in[1,4]$ 这个条件 丢掉了。丢掉之后条件会变成「对一切 $t\ge4$……」，本题后面那条 $t\le5$ 就永远不成立， 算出来是无解。换元必须把新变量的范围一并搬过来。

题目于是变成一句话：

$h(t)=\left|t-a\right|+a$ 在 $t\in[4,5]$ 上的最大值是 $5$，求 $a$ 的范围。

解法一：把绝对值写成两支取大，最大值只能在区间端点上

第一步：把 $x$ 换掉，并把新变量的范围一并算出来

题面的函数是

$$f(x)=\left|\,x+\frac4x-a\,\right|+a,\qquad x\in[1,4]$$

参数 $a$ 只出现在绝对值那一层，$x$ 只出现在 $x+\dfrac4x$ 里。记

$$t=x+\frac4x,\qquad h(t)=\left|t-a\right|+a$$

则 $f(x)=h\bigl(t(x)\bigr)$。$x\in[1,4]$ 上恒有 $x\ge1>0$，分母不为零，$t$ 有定义且连续。 $x$ 要退场，就必须先问清楚：$t$ 到底能取到哪些值？

求导：$t'(x)=1-\dfrac4{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}$。在 $[1,4]$ 上分母恒正，所以

• $1\le x<2$ 时 $x^2-4<0$，$t$ 递减；
• $2<x\le4$ 时 $x^2-4>0$，$t$ 递增。

三个特征值：

$$t(1)=1+4=5,\qquad t(2)=2+2=4,\qquad t(4)=4+1=5$$

于是 $t$ 在 $[1,4]$ 上先从 $5$ 连续降到 $4$、再连续升回 $5$。最小值 $4$ 在 $x=2$ 处取得到， 最大值 $5$ 在 $x=1$（也在 $x=4$）处取得到；由连续函数的介值性，$[4,5]$ 里每个数都被取到。 所以 $t$ 的值域恰好是

$$t\in[4,5]\qquad(\text{不多不少，两个端点都算数})$$

原题于是等价地变成：

$h(t)=\left|t-a\right|+a$ 在 $t\in[4,5]$ 上的最大值是 $5$，求 $a$。

别只用均值不等式。 $x\cdot\dfrac4x=4$ 给出 $t\ge4$，那只是下界，把 $x\le4$ 这个限制丢了。 值域少了上端 $t\le5$，后面每一步都接不上。

改写：一个 V 形 $=$ 两条直线里较高的那条

绝对值的定义式改写：$\left|u\right|=\max\left(u,\,-u\right)$。于是

$$h(t)=\left|t-a\right|+a=\max\bigl(\,(t-a)+a,\ (a-t)+a\,\bigr)=\max\left(t,\ 2a-t\right)$$

右边两支都是 $t$ 的一次函数：一条是 $y=t$（斜率 $+1$），另一条是 $y=2a-t$（斜率 $-1$）。 注意第一支根本不含 $a$——这是这道题最省力的地方。

各自的最大值都在端点上

一次函数在闭区间上的最值必在端点，两支取大之后仍然如此。在 $t\in[4,5]$ 上：

于是

$$\max_{t\in[4,5]}h(t)=\max\left(5,\ 2a-4\right)$$

不必讨论 $a$ 落在 $[4,5]$ 的左边、里面还是右边——那三类讨论被这一句话吃掉了。

这两个端点值都算数，因为第一步已经查过：$t=5$ 由 $x=1$ 取到，$t=4$ 由 $x=2$ 取到， 两处都在 $[1,4]$ 里。若 $t$ 的值域只是 $[4,5]$ 的一部分，上面这个 $\max$ 就不能这么写。

读出条件

$y=t$ 那一支保证了最大值永远不小于 $5$（$t=5$ 是取得到的）。所以「最大值恰是 $5$」 不需要另外验证「取得到」，只需要另一支别顶出去：

$$2a-4\le 5\ \Longleftrightarrow\ a\le\frac92$$

结论：$a\le\dfrac92$。

解法二：最大值不超过 5 就是一条恒成立不等式，解绝对值不等式

这是原卷的走法：不画图，纯用不等式推。

拆成「不超过」与「取得到」两件事

「最大值是 $5$」等价于两条同时成立：

1. 不超过：对每个 $x\in[1,4]$ 都有 $f(x)\le5$；
2. 取得到：至少有一个 $x$ 使 $f(x)=5$。

先做第一条。

解绝对值不等式

$$\left|t-a\right|+a\le5\ \Longleftrightarrow\ \left|t-a\right|\le5-a$$

右边必须非负，这本身就是一个条件：$a\le5$。在此前提下去掉绝对值：

$$-(5-a)\le t-a\le 5-a \ \Longleftrightarrow\ 2a-5\le t\le 5$$

代入里层的值域

上式要对所有 $t\in[4,5]$ 成立，等价于分别管住两端：

• 左边 $2a-5\le t$ 对所有 $t\ge4$ 成立 $\iff 2a-5\le 4 \iff a\le\dfrac92$；
• 右边 $t\le5$ 对所有 $t\le5$ 成立——白给的，因为 $t$ 的上端恰好就是 $5$。

这道题的全部约束都在左边那一条：$a\le\dfrac92$。它比前面那个 $a\le5$ 更紧，故 $a\le5$ 被吸收。

别忘了验第二条：等号取得到

只解出「$f\le5$」还不够，$f$ 的最大值可能顶不到 $5$。取 $x=1$（此时 $t=5$），因为 $a\le\dfrac92<5$：

$$f(1)=\left|5-a\right|+a=(5-a)+a=5$$

等号确实取到了（$x=4$ 处同理）。于是 $a\le\dfrac92$ 中的每一个 $a$ 都让最大值恰为 $5$。

结论：$a\le\dfrac92$，与解法一一致。

一处原卷笔误：右端点应当是闭的

原卷解答自己写的是

所以 $2a-5\le4$，解得 $a\le\dfrac92$

而下一行「故答案为」印的却是 $\left(-\infty,\dfrac92\right)$——同一页上，一处闭一处开。

$a=\dfrac92$ 到底行不行，代一遍就知道（此时 $t\in[4,5]$，$a=4.5$ 落在里面）：

$$f(1)=\left|5-\tfrac92\right|+\tfrac92=\tfrac12+\tfrac92=5,\qquad f(2)=\left|4-\tfrac92\right|+\tfrac92=\tfrac12+\tfrac92=5,\qquad f(4)=5$$

中间的点更小（$t$ 越靠近 $\dfrac92$，$\left|t-a\right|$ 越小）。最大值正好是 $5$，完全符合题意。

所以 $a=\dfrac92$ 取得到，正确的写法是 $\left(-\infty,\dfrac92\right]$。 本站的 answer 字段照原卷转写（校订层不改题意），但结论以解答自己那句 $a\le\dfrac92$ 为准。

回头看：两条路各自强在哪儿

两条路共用的地基只有一句：先把 $t=x+\dfrac4x$ 在 $[1,4]$ 上的值域钉成 $[4,5]$。 钉错了这一步，后面写得再漂亮也是另一道题的答案。