浙江 2019 · 数学 q09

冷启动：先把「三个零点」翻译成数得出来的东西

题面给的是一个分段函数

$$f(x)=\begin{cases} x, & x<0,\\[4pt] \dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2}(a+1)x^{2}+ax, & x\ge 0, \end{cases}$$

要数的是 $y=f(x)-ax-b$ 的零点个数。看见分段函数，第一反应就是「零点也得分段数」： 记 $g(x)=f(x)-ax-b$，它在两支上是两个完全不同的函数——

• $x<0$：$g(x)=x-ax-b=(1-a)x-b$，一次的（$a=1$ 时退化成常数）；
• $x\ge 0$：$g(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2}(a+1)x^{2}+ax-ax-b=\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2}(a+1)x^{2}-b$，那个 $ax$ 抵消掉了。

这个抵消是本题的全部技术含量。 右支减掉 $ax$ 之后，$a$ 只剩在 $x^{2}$ 的系数里， $b$ 只是一个上下平移量——两个参数从此分工：$a$ 管曲线的形状，$b$ 管高低。 【点睛】说的「一元化」就是这件事，而它是算出来的，不是硬凑的。

第二件事：先把每支的零点个数上限数出来。 左支是一次的，至多 $1$ 个。右支记 $F(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{a+1}{2}x^{2}-b$（$x\ge 0$），

$$F'(x)=x^{2}-(a+1)x=x\bigl(x-(a+1)\bigr),$$

在 $x\ge 0$ 上最多只有一个正驻点，图形只可能是「先降后升」或「一路上升」，至多 $2$ 个零点。于是

$$3=\underbrace{1}_{x<0\ \text{那支}}+\underbrace{2}_{x\ge 0\ \text{那支}}$$

是唯一的拆法——两支都必须顶到自己的上限。一句话就把「恰有三个零点」换成了两条互不干扰的要求， 剩下的只是分别把它们解出来。这也是这类题的通用打法：先算上限，可能的拆法常常当场压到唯一。

第三件事：分界点 $x=0$ 归右支。 左支的定义域是 $x<0$，开的；所以左支那个零点必须 严格小于 $0$，而 $x=0$ 是不是零点只由右支说话：$F(0)=-b$，故 $x=0$ 是零点 $\iff b=0$。 这一条后面要用两次，是本题最容易悄悄多数一个零点的地方。

原卷的几处毛病（校订层 q09-fix.md 里逐条记着，都不影响答案）：

1. 【详解】有两处印着「当 $\overrightarrow{BC}=\lambda\overrightarrow{AP}$ 时」——本题连一个向量都没有， 这是排版时从别的题串进来的，按上下文两处都该是「当 $x\ge 0$ 时」（求导与后面的 $F(x)$ 都只在右支上做）。
2. 【详解】最后一句停在「若另一零点在$<0$」就断了：左支那一半根本没证完。它只证到「右支上至少两个」， 而「左支恰好还有一个」需要的条件（下面的 $a<1$）从头到尾没出现。
3. 本页没印【答案】块，答案 D 取自【详解】自己那句「答案选 D」。
4. 更值得说的一处：$a>-1$ 那三张草图里，标着 a>1 的那张画出了三个交点——而 $a>1$ 时三个零点是凑不出来的（下面解法二的下幅图专门画这件事）。这不影响选 D， 因为 D 只是「三个零点」的必要条件；但拿那张图当结论用就错了。

解法一：分段各自数零点，三个只能是「$1+2$」

① 拆。 如冷启动所述，$x<0$ 上 $g(x)=(1-a)x-b$，$x\ge 0$ 上 $g(x)=F(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{a+1}{2}x^{2}-b$。 零点总数 $=$ 左支零点数 $+$ 右支零点数（两支定义域无交，不会重复计数）。

② 左支能给几个。 解 $(1-a)x=b$：

• $a\ne 1$：唯一解 $x=\dfrac{b}{1-a}$，它落进 $x<0$ 当且仅当 $\dfrac{b}{1-a}<0$；
• $a=1$：方程成了 $0=b$。$b\ne 0$ 时一个零点都没有；$b=0$ 时整条射线 $x<0$ 全是零点， 零点有无穷多个，与「恰有三个」矛盾，这个退化情形直接排除。

所以左支至多 $1$ 个，而且是不是 $1$ 个，取决于 $b$ 的符号与 $1-a$ 的符号是否相反。

③ 右支能给几个。 把导数因式分解：$F'(x)=x\bigl(x-(a+1)\bigr)$。按 $a+1$ 的符号分类讨论：

• $a+1\le 0$（即 $a\le -1$）：$x\ge 0$ 时 $x-(a+1)\ge 0$，故 $F'(x)\ge 0$，$F$ 在 $[0,+\infty)$ 上不减。 又 $F(0)=-b$、$F(x)\to+\infty$，于是 $b\ge 0$ 时恰 $1$ 个零点，$b<0$ 时 $0$ 个——至多 $1$ 个。

• $a+1>0$（即 $a>-1$）：$F$ 在 $[0,a+1]$ 上递减、在 $[a+1,+\infty)$ 上递增（这就是导数的正负与函数的单调性）， 端点值 $F(0)=-b$，极小值

  $$F(a+1)=\frac{(a+1)^{3}}{3}-\frac{(a+1)^{3}}{2}-b=-\frac{(a+1)^{3}}{6}-b .$$

  按 $b$ 分五段（每段里「有没有零点」都由函数零点存在定理在单调段上给出，单调保证不多不少）：

  $b$ 的位置	$F(0)=-b$	$F(a+1)$	右支零点数
  $b>0$	$<0$	$<0$	$1$（只在递增段穿一次）
  $b=0$	$=0$	$<0$	$2$（$x=0$ 与 $x=\frac{3(a+1)}{2}$）
  $-\frac{(a+1)^{3}}{6}<b<0$	$>0$	$<0$	$2$（递减段、递增段各一个）
  $b=-\frac{(a+1)^{3}}{6}$	$>0$	$=0$	$1$（谷底相切，重根只算一个零点）
  $b<-\frac{(a+1)^{3}}{6}$	$>0$	$>0$	$0$（全程在 $x$ 轴上方）

  所以右支至多 $2$ 个，而且要拿满 $2$ 个只有两种可能：$-\frac{(a+1)^{3}}{6}<b<0$ 或 $b=0$。

④ $a\le -1$ 整类当场毙掉。 由 ②③，此时左支至多 $1$、右支至多 $1$，总数至多 $2$， 连三个的门都摸不到（细算还能看出恒等于 $1$：$b<0$ 时左支 $1$、右支 $0$；$b\ge 0$ 时左支 $0$、右支 $1$—— 这正是原卷 (1) 那句「实际上有一个」）。于是必有 $a>-1$，选项 A、B 出局。

⑤ 右支必须拿满 $2$ 个，逼出 $b<0$。 由 ③ 的表，只剩 $-\frac{(a+1)^{3}}{6}<b<0$ 与 $b=0$ 两种。 但 $b=0$ 时左支给不出零点（那时左支的解是 $x=0$，而 $x=0$ 不在 $x<0$ 里，$a=1$ 的退化情形已在 ② 排除）， 总数只有 $2$。所以

$$-\frac{(a+1)^{3}}{6}<b<0 ,$$

特别地 $b<0$，选项 C 出局，只剩 D。

⑥ 左支必须拿满 $1$ 个，逼出 $a<1$。 已知 $b<0$，②的条件 $\dfrac{b}{1-a}<0$ 就要求 $1-a>0$，即 $a<1$。

⑦ 合起来，这是充要条件。 三个零点

$$\iff\quad -1<a<1\quad\text{且}\quad -\frac{(a+1)^{3}}{6}<b<0 .$$

它蕴含 $a>-1$ 且 $b<0$，故答案是 D。

顺带看清 D 的身份：它是必要条件，不是充要条件。 例如 $a=2>-1$、$b=-2<0$ 完全满足 D， 可那时零点只有两个（$a>1$ 使左支一个都不给）。本题问的是「恰有三个零点，则」， 必要条件就够选了；但若题目改成「求所有满足条件的 $(a,b)$」，答案就是 ⑦ 那两条， 少写 $a<1$ 或把区间端点写闭都是错的。

解法二：把 $b$ 分离成一条水平线，$a$ 管形状、$b$ 管高低

① 参变分离。 零点方程按支把 $b$ 单独拿出来：

• $x<0$：$b=(1-a)x=:\psi(x)$；
• $x\ge 0$：$b=\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{a+1}{2}x^{2}=:\varphi(x)$。

② 于是零点个数 $=$ 水平线 $y=b$ 与这两条曲线的交点个数之和。 这一步把两个参数彻底分开： $a$ 只改两条曲线的形状，$b$ 只改水平线的高度。要数的东西全变成了「一条横线截几次」。

③ 两条曲线长什么样。

• $\psi$ 是过原点、斜率 $1-a$ 的射线，只画 $x<0$ 那半，且原点挖掉： $a<1$ 时它落在第三象限，值域是 $(-\infty,0)$；$a>1$ 时落在第二象限，值域是 $(0,+\infty)$。 两种情形的值域都不含 $0$（原点被挖掉了），这一条后面要用。 $a=1$ 时 $\psi\equiv 0$：横线 $y=0$ 与它处处相交（零点无穷多个，不是三个）， $b\ne 0$ 时一个交点都没有（左支颗粒无收，右支至多两个，也凑不出三个）—— 所以 $a=1$ 当场排除，下面只看 $a\ne 1$。
• $\varphi(0)=0$，$\varphi'(x)=x\bigl(x-(a+1)\bigr)$： $a>-1$ 时先降到谷底 $\Bigl(a+1,\,-\dfrac{(a+1)^{3}}{6}\Bigr)$ 再升向 $+\infty$； $a\le -1$ 时在 $[0,+\infty)$ 上单调上升，而且整条不低于 $x$ 轴——因为 $\varphi(x)=x^{2}\Bigl(\dfrac{x}{3}-\dfrac{a+1}{2}\Bigr)\ge 0$。

④ 读上幅图：能凑出三个的唯一一类。 三个交点只能是「左支一个 $+$ 右支两个」（射线至多截一次， 先降后升的曲线至多截两次），所以要同时满足两件事：

• 与 $\varphi$ 交两次。 $a>-1$ 时 $\varphi$ 先降到谷底 $-\frac{(a+1)^{3}}{6}$ 再升向 $+\infty$， 于是横线截两次 $\iff$ 它高于谷底、又不高于起点高度 $\varphi(0)=0$： $-\frac{(a+1)^{3}}{6}<b\le 0 .$ 右端是闭的：$b=0$ 时那两个交点是 $x=0$ 与 $x=\frac{3(a+1)}{2}$（把 $\varphi$ 写成 $x^{2}\bigl(\frac{x}{3}-\frac{a+1}{2}\bigr)$ 就看出来了）。而 $b>0$ 时横线只在上升段截一次。 这一条顺带逼出 $a>-1$：$a\le -1$ 时 $\varphi$ 单调且不低于 $x$ 轴，横线最多截它一次。
• 与 $\psi$ 交一次，这一步把 $b=0$ 剔掉。 ③ 里说过，$\psi$ 的值域（$(-\infty,0)$ 或 $(0,+\infty)$） 不含 $0$，所以 $b=0$ 时左支一个交点都不给，总数只有 $2$——于是上一条的右端点必须去掉： $-\frac{(a+1)^{3}}{6}<b<0,\qquad\text{特别地 } b<0 .$ 再让 $b<0$ 落进 $\psi$ 的值域：那就要求值域是 $(-\infty,0)$，即斜率 $1-a>0$，也就是 $a<1$。

图上取 $a=\dfrac12$：谷底是 $\bigl(\frac32,-\frac{9}{16}\bigr)$，把横线放在 $b=-\dfrac14$ （夹在 $-\frac{9}{16}$ 与 $0$ 之间）就数到三个交点；抬到 $b=\dfrac14>0$ 只剩一个； 压到谷底 $b=-\dfrac{9}{16}$ 则右支变成相切、只算一个，总数掉回两个。 $b$ 的区间两端各开在一件不同的事上：左端开在「相切只算一个交点」（图上灰线那条演示了一遍）， 右端开在「$b=0$ 时左支的原点被挖掉、一个交点都不给」。

⑤ 读下幅图：$a>1$ 怎么摆都是两个。 $a>1$ 时 $1-a<0$，$\psi$ 整条抬到 $x$ 轴上方 （值域 $(0,+\infty)$）；而 $\varphi$ 在 $\bigl[0,\frac{3(a+1)}{2}\bigr]$ 上不高于 $x$ 轴、谷底在下方， 过 $x=\frac{3(a+1)}{2}$ 之后才升到 $x$ 轴上方。于是

• $b<0$：$\psi$ 一个交点都不给，最多只能从 $\varphi$ 拿 $2$ 个 $\Rightarrow$ 总数 $\le 2$；
• $b>0$：$\psi$ 给 $1$ 个，但 $\varphi$ 在 $b>0$ 处只被截 $1$ 次 $\Rightarrow$ 总数 $2$；
• $b=0$：$\psi$ 那头的原点被挖掉，给 $0$ 个；$\varphi$ 给 $2$ 个 $\Rightarrow$ 总数 $2$。

图上取 $a=2$：$b=2$ 与 $b=-2$ 两条横线都只数到两个交点。这正是原卷第三张草图画错的地方。

⑥ 结论。 三个零点 $\iff -1<a<1$ 且 $-\dfrac{(a+1)^{3}}{6}<b<0$；它蕴含 $a>-1$、$b<0$，选 D。

两条路的分工值得记一下：解法一是「算」——每支的零点数写成 $b$ 的分段表，结论最硬； 解法二是「看」——把参数分离成横线与曲线，一张图读完全部情形，最快，也最容易发现原卷那张草图不对。

避坑

• 一条更省力的检查：拿一个具体数验一遍。$a=\dfrac12,\ b=-\dfrac14$ 时零点是三个（图上幅）， $a=2,\ b=-2$ 时只有两个（图下幅）——后者满足 D 却不足三个零点，同时验出了「D 是必要条件」这件事。
• 临界值只有两个，别多凑：$a=-1$ 来自右支单调性的翻转（$\varphi'$ 的两个根合并）， $a=1$ 来自左支斜率变号。前者选项里明写着，后者要自己算出来——这道题的分水岭就在于有没有算它。
• 「恰有三个零点」是等式，不是不等式：数完两支要相加后再比，不要在某一支上单独下「至少三个」这类判断。