浙江 2019 · 数学 q09

题面

9. 已知 $a, b \in R$，函数 $f(x) = \begin{cases} x, x < 0 \\ \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} (a + 1)x^2 + ax, x \geq 0 \end{cases}$，若函数 $y = f(x) - ax - b$ 恰有三个零点，则（）
   A. $a < -1, b < 0$ B. $a < -1, b > 0$
   C. $a > -1, b > 0$ D. $a > -1, b < 0$

解析

分析

本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.

原题可转化为 $y = f(x)$ 与 $y = ax + b$ ，有三个交点.

当 $\overrightarrow{BC} = \lambda \overrightarrow{AP}$ 时，$f'(x) = x^2 - (a + 1)x + a = (x - a)(x - 1)$，且 $f(0) = 0, f'(0) = a$，则

(1) 当 $a \leq -1$ 时, 如图 $y = f(x)$ 与 $y = ax + b$ 不可能有三个交点 (实际上有一个), 排除 A, B

(2) 当 $a > -1$ 时, 分三种情况, 如图 $y = f(x)$ 与 $y = ax + b$ 若有三个交点, 则 $b < 0$, 答案选 D

下面证明：a > -1 时，

$\overrightarrow{BC} = \lambda \overrightarrow{AP}$ 时 $F(x) = f(x) - ax - b = \frac{1}{3} x^3 -\frac{1}{2} (a + 1)x^2 -b$ ， $F^{\prime}(x) = x^{2} - (a + 1)x = x(x - (a + 1))$ ，则

$F(0)>0,F(a+1)<0$ ，才能保证至少有两个零点，即 $0>b>-\frac{1}{6}(a+1)^{3}$ ，若另一零点在<0

【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及a,b两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..