浙江 2019 · 数学 q22

题面

22.已知实数 $a \neq 0$，设函数 $f(x) = a \ln x + \sqrt{x + 1}, x > 0$.

（1）当 $a = -\frac{3}{4}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

（2）对任意 $x \in \left[\frac{1}{\mathrm{e}^2}, +\infty\right)$ 均有 $f(x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2a}$，求 $a$ 的取值范围。注：$\mathrm{e} = 2.71828$ …为自然对数的底数。

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学

参考公式:

选择题部分（共40分）

（1）当 $a = -\frac{3}{4}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

（2）对任意 $x \in \left[\frac{1}{\mathrm{e}^2}, +\infty\right)$ 均有 $f(x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2a}$，求 $a$ 的取值范围.

注：e=2.71828…为自然对数的底数.

答案

（1） $f(x)$ 的单调递增区间是 $(3, +\infty)$ ，单调递减区间是 $(0, 3)$ ；（2） $0 < a \leq \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

解析

分析

(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.

(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到 $a$ 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.

(1)当 $a = -\frac{3}{4}$ 时，$f(x) = -\frac{3}{4} \ln x + \sqrt{x + 1}$，函数的定义域为 $(0, +\infty)$，且：

$f^{\prime} (x) = - \frac{3}{4 x} + \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} = \frac{- 3 \sqrt{x + 1} + 2 x}{4 x \sqrt{x + 1}} = \frac{(x - 3) (4 x + 3)}{4 x \sqrt{x + 1} (3 \sqrt{x + 1} + 2 x)},$

因此函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(3, +\infty)$ ，单调递减区间是 $(0, 3)$ .

(2)构造函数 $g(x) = a\ln x + \sqrt{1 + x} -\frac{\sqrt{x}}{2a},$

注意到： $g\left(\frac{1}{e^2}\right) = -2a - \frac{1}{2ae} +\sqrt{1 + \frac{1}{e^2}}\tilde{\mathrm{N}} 0,$

注意到 $a > 0$ 时 $2a + \frac{1}{2ae} \geq 2\sqrt{\frac{1}{e}} > \sqrt{1 + \frac{1}{e^2}}$ 恒成立，满足 $g\left(\frac{1}{e^2}\right) = -2a - \frac{1}{2ae} + \sqrt{1 + \frac{1}{e^2}}\tilde{\mathrm{N}}0$

当 $a < 0$ 时，$g\left(\frac{1}{e^2}\right) = -2a - \frac{1}{2ae} + \sqrt{1 + \frac{1}{e^2}} > 0$，不合题意，

且 $g(1) = \sqrt{2} -\frac{1}{2a}\leq 0$ ，解得： $a\leq \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，故 $0 < a\leq \frac{\sqrt{2}}{4}$

下面证明 $0 < a \leq \frac{\sqrt{2}}{4}$ 刚好是满足题意的实数 $a$ 的取值范围.

分类讨论:

(a)当 $x \geq 1$ 时，$g(x) = a \ln x + \sqrt{1 + x} - \frac{\sqrt{x}}{2a} \leq \frac{\sqrt{2}}{4} \ln x + \sqrt{1 + x} - \sqrt{2x}$，

令 $\varphi(x) = \frac{\sqrt{2}}{4}\ln x + \sqrt{1 + x} -\sqrt{2x}$ ，则：
\varphi^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{2}x} +\frac{1}{2\sqrt{1 + x}} -\frac{1}{\sqrt{2x}}$$= \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{2}x - 2\sqrt{x(1 + x)}}{2\sqrt{2}x\sqrt{1 + x}}$$= \frac{2\sqrt{2}x\sqrt{1 + x} - (2x^2 + 3x - 1)}{2\sqrt{2}x\sqrt{1 + x}(\sqrt{1 + x} + \sqrt{2}x + 2\sqrt{x(1 + x)})}$$= \frac{(1 - x)(4x^3 + 8x^2 + 5x - 1)}{2\sqrt{2}x\sqrt{1 + x}(\sqrt{1 + x} + \sqrt{2}x + 2\sqrt{x(1 + x)})\left(2\sqrt{2}x\sqrt{1 + x} + (2x^2 + 3x - 1)\right)},

易知 $\varphi'(x) \leq 0$，则函数 $\varphi(x)$ 单调递减，$g(x) \leq \varphi(x) \leq \varphi(1) = 0$，满足题意.

(b)当 $\frac{1}{e^2} \leq x < 1$ 时，$g(x) \leq 0$ 等价于 $a^2 \ln x + \sqrt{x + 1} \cdot a - \frac{1}{2} \sqrt{x} \leq 0$

左侧是关于 a 的开口向下的二次函数 $\mu(a)$ ,

其判别式 $\Delta(x) = 1 + x + 2\sqrt{x}\ln x = \sqrt{x}\left(4\ln \sqrt{x} +\sqrt{x} +\frac{1}{\sqrt{x}}\right),$

令 $t = \sqrt{x}$ ，注意到当 $t > \frac{1}{e}$ 时，$\left(4\ln t + t + \frac{1}{t}\right)' = \frac{t^2 + 4t - 1}{t^2} > 0$

于是 $\Delta(x)$ 在 $x \in \left[\frac{1}{e^2}, 1\right)$ 上单调递增, 而 $\Delta\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{5}{4} - 2 \ln 2 < 0$,

于是当 $x \in \left[\frac{1}{e^2}, \frac{1}{4}\right]$ 时命题成立,

而当 $x \in \left(\frac{1}{4}, 1\right)$ 时, 此时 $\mu(a)$ 的对称轴为 $a = \frac{\sqrt{x + 1}}{-2 \ln x}$ 随着 $x$ 递增,

于是对称轴在 $a = \frac{\sqrt{5}}{8\ln 2}$ 的右侧,而 $\frac{\sqrt{5}}{8\ln 2} >\frac{\sqrt{2}}{4}$ 成立，(不等式等价于 $\ln 2 < \sqrt{\frac{5}{8}}$ ).

因此 $\mu(a) < u\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) \leq \varphi(1) = 0$

综上可得：实数 $a$ 的取值范围是 $0 < a \leq \frac{\sqrt{2}}{4}$.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用.