浙江 2019 · 数学 q22

冷启动：压轴题的标准打开方式

第 (1) 问是常规的求导判单调。第 (2) 问是「对任意 $x\in[\tfrac{1}{\mathrm{e}^2},+\infty)$ 恒有 $f(x)\le\dfrac{\sqrt{x}}{2a}$，求 $a$ 的范围」——恒成立求参数范围的压轴题，套路只有一句话：

先取几个特殊的 $x$ 把 $a$ 的范围收窄（必要性），再证明收窄后的范围真能满足条件（充分性）。

特殊点从哪来？看函数结构：$f(x)=a\ln x+\sqrt{x+1}$ 里 $\ln x$ 在 $x=1$ 处为零、 $\sqrt{x+1}$ 与 $\sqrt{x}$ 在 $x=1$ 处都等于 $\sqrt{2}$；区间的左端点 $\tfrac{1}{\mathrm{e}^2}$ 又让 $\ln x$ 变成 $-2$。所以先试 $x=1$ 与 $x=\tfrac{1}{\mathrm{e}^2}$——这就是解析开头 两个式子的来历。

第 (1) 问：求导、找零点、定符号

$a=-\dfrac{3}{4}$ 时 $f(x)=-\dfrac{3}{4}\ln x+\sqrt{x+1}$（$x>0$）：

令 $f'(x)=0$：$2x=3\sqrt{x+1}$，平方得 $4x^2=9(x+1)$，即 $4x^2-9x-9=(4x+3)(x-3)=0$。 $x>0$ 只留 $x=3$（平方可能增根，但 $x=3$ 代回 $2x=3\sqrt{x+1}$ 成立）。$x\in(0,3)$ 时 $f'(x)<0$，$x\in(3,+\infty)$ 时 $f'(x)>0$（分子 $2x-3\sqrt{x+1}$ 随 $x$ 递增，过零一次），所以

单调递增区间 $(3,+\infty)$，单调递减区间 $(0,3)$。

（官方解析还多走一步有理化：分子分母同乘 $3\sqrt{x+1}+2x$ 得 $f'(x)=\dfrac{(x-3)(4x+3)}{4x\sqrt{x+1}\,(3\sqrt{x+1}+2x)}$，目的只是把符号看得更透； 不化也完全够。）

解法一：端点必要 + 分段充分

设 $g(x)=a\ln x+\sqrt{1+x}-\dfrac{\sqrt{x}}{2a}$，条件等价于 $g(x)\le0$ 对一切 $x\ge\tfrac{1}{\mathrm{e}^2}$ 成立。

第一步：取两个特殊点，把 $a$ 锁进 $(0,\tfrac{\sqrt2}{4}]$

$x=\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$（$\ln x=-2$）：

• 若 $a<0$，则 $-2a>0$ 且 $-\dfrac{1}{2a\mathrm{e}}>0$，于是 $g\left(\tfrac{1}{\mathrm{e}^2}\right)>0$， 与条件矛盾——$a<0$ 整支排除（这就是参数题最爱漏的那一支）；
• 若 $a>0$，由均值不等式 $2a+\dfrac{1}{2a\mathrm{e}}\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{e}}}$，而 $2\sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{e}}}>\sqrt{1+\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}}$（平方比： $\dfrac{4}{\mathrm{e}}>1+\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}\Longleftrightarrow 4\mathrm{e}>\mathrm{e}^2+1$， 即 $(\mathrm{e}-2)^2<3$，成立），所以 $g\left(\tfrac{1}{\mathrm{e}^2}\right)<0$ 自动满足， 这个点对 $a>0$ 没有约束。

$x=1$（$\ln 1=0$）：

于是必要性给出候选范围 $0<a\le\dfrac{\sqrt{2}}{4}$。下面证明它充分。

第二步：充分性，分两段

(a) $x\ge1$ 一段——把 $g$ 压到一个递减的 $\varphi$ 下面。 此时 $\ln x\ge0$，$a\le\dfrac{\sqrt2}{4}$ 给出 $a\ln x\le\dfrac{\sqrt2}{4}\ln x$；又 $\dfrac{1}{2a}\ge\sqrt2$，给出 $-\dfrac{\sqrt{x}}{2a}\le-\sqrt{2x}$。两项同向：

求导（同分母、两次有理化，把符号挤进两个因式）：

$x\ge1$ 时 $1-x\le0$、$4x^3+8x^2+5x-1>0$，分母恒正，所以 $\varphi'(x)\le0$——$\varphi$ 递减， $g(x)\le\varphi(x)\le\varphi(1)=0$。（这一步的代数目的就一个：把 $\varphi'$ 的符号换成 两个多项式因式的符号，其余全是恒正的「配重」；分子因式分解 $(1-x)(4x^3+8x^2+5x-1)$ 与 $x=2$ 处的数值 $\varphi'(2)=\tfrac{\sqrt2}{8}+\tfrac{1}{2\sqrt3}-\tfrac12\approx-0.0345$ 相符。）

(b) $\tfrac{1}{\mathrm{e}^2}\le x<1$ 一段——$g$ 对 $a$ 是个二次函数。 此时 $\ln x<0$， 上一段的放缩方向反转（$a\ln x\ge\dfrac{\sqrt2}{4}\ln x$），不能再走 $\varphi$。换个主元： 两边乘 $2a>0$，

$\mu(a)$ 是 $a$ 的开口向下二次函数（首项 $\ln x<0$），判别式

直接求导：$\Delta'(x)=1+\dfrac{\ln x+2}{\sqrt{x}}$。$x\in[\tfrac{1}{\mathrm{e}^2},1)$ 时 $\ln x\ge-2$，所以 $\Delta'(x)\ge1>0$，$\Delta(x)$ 在 $[\tfrac{1}{\mathrm{e}^2},1)$ 上严格递增。 （官方解析先令 $t=\sqrt{x}$ 把 $\Delta$ 写成 $\sqrt{x}\cdot h(\sqrt{x})$ 再证 $h$ 递增——绕了弯， 而且 $h$ 在左端附近为负、乘积的单调性不能由两个因式直接推，本站直接用 $\Delta'$ 更短也更稳。）

• $x\in\left[\tfrac{1}{\mathrm{e}^2},\tfrac14\right]$： $\Delta(x)\le\Delta\left(\tfrac14\right)=\tfrac54-2\ln2<0$（即 $\ln4>\tfrac54$，$4>\mathrm{e}^{5/4}$ 成立）。 开口向下且无实根，$\mu(a)<0$ 对一切 $a$ 成立——这一段无条件通过。

• $x\in\left(\tfrac14,1\right)$：对称轴 $a_0=\dfrac{\sqrt{x+1}}{-2\ln x}$ 随 $x$ 递增（$\sqrt{x+1}$ 增、$\dfrac{1}{-\ln x}$ 增）， 所以 $a_0\ge a_0\!\left(\tfrac14\right)=\dfrac{\sqrt5}{8\ln2}$，而 $\dfrac{\sqrt5}{8\ln2}>\dfrac{\sqrt2}{4}\Longleftrightarrow\ln2<\sqrt{\dfrac58}$（$\ln2\approx0.693<0.791$，成立）。 于是 $0<a\le\dfrac{\sqrt2}{4}<a_0$：$a$ 在对称轴左侧，开口向下 ⇒ $\mu$ 递增 ⇒ $\mu(a)\le\mu\!\left(\dfrac{\sqrt2}{4}\right)$。

  最后补上原书没证的一步：$\mu\!\left(\dfrac{\sqrt2}{4}\right)\le0$。把它乘以 2 写成

  $$\psi(x):=\frac14\ln x+\frac{\sqrt2}{2}\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$$ $$\psi'(x)=\frac{1}{4x}+\frac{\sqrt2}{4\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt2\,x-2\sqrt{x(x+1)}}{4x\sqrt{x+1}}$$

  分子非负，两行证完：由均值不等式（注意 $\sqrt2\,x=\sqrt2\cdot x$ 是一个整体）

  $$\sqrt{x+1}+\sqrt2\,x\ge 2\cdot 2^{1/4}\bigl(x^2(x+1)\bigr)^{1/4}$$

  而 $x<1$ 时 $2\cdot 2^{1/4}\bigl(x^2(x+1)\bigr)^{1/4}\ge 2\sqrt{x(x+1)}$（两边四次方， 等价于 $2\ge x+1$）。连起来就是 $\sqrt{x+1}+\sqrt2\,x\ge2\sqrt{x(x+1)}$，分子非负。 所以 $\psi'\ge0$，$\psi$ 递增，$\psi(x)\le\psi(1)=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\sqrt2-1=0$。

  于是 $\mu(a)\le\mu\!\left(\dfrac{\sqrt2}{4}\right)=\dfrac12\psi(x)\le0$，这一段也通过。

综上，$0<a\le\dfrac{\sqrt2}{4}$ 时对一切 $x\ge\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$ 都有 $g(x)\le0$， 与必要性合起来：$a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{\sqrt2}{4}\right]$。

为什么这道题只有一条路

「把 $a$ 当主元」就是上面的 $\mu(a)$；「分离参数」就是把 $\Delta(x)$ 的单调性单独拎出来—— 任何写法最终都要处理 $x<1$ 这一段上 $g$ 对 $a$ 非单调（$\ln x<0$ 使放缩方向反转）的事实， 于是必须用二次函数结构。两条「看着不同」的路走到第二段都会合并成同一个 $\mu(a)+\Delta(x)$。

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